Question

Сколько корней имеет уравнение 4sin(x/2)-cos(x)+1=0 на [0; 2п] ?

Answer 1

$4sin\frac{x}{2}-cosx+1=0\\\\\star \; \; cosx=cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2}=(1-sin^2\frac{x}{2})-sin^2\frac{x}{2}=1-2sin^2\frac{x}{2}\\\\4sin\frac{x}{2}-(1-2sin^2 \frac{x}{2})+1=0\\\\2sin^2\frac{x}{2}+4sin\frac{x}{2}=0\\\\2\, sin\frac{x}{2}\cdot (sin\frac{x}{2}+2)=0\\\\a)\; \; sin\frac{x}{2}=0\; ,\; \; \frac{x}{2}=\pi k\; ,\; \; x=2\pi k\; ,\; k\in Z\\\\b)\; \; sin\frac{x}{2}+2=0\; ,\; \; sin\frac{x}{2}=-2\; \; net\; reshenij,\\\\tak\; kak\; |sin\frac{x}{2}|\leq 1\; ,\; a\; -2$

Ответ: два решения на указанном промежутке.

Answer 2

$4sin(\frac{x}{2}) + 1 - cos(x) = 4sin(\frac{x}{2}) + 2sin^{2}(\frac{x}{2}) = 2sin(\frac{x}{2})(2 + sin(\frac{x}{2})) = 0$

Вторая скобка больше 0

$sin(\frac{x}{2}) = 0$

$\frac{x}{2} = \pi n \\ x = 2 \pi n \\ n = 0; x = 0\\ n = 1; x = 2\pi$

Решений на данном интервале 2.

Answer 3

Для определения количества корней уравнения на заданном интервале, нужно проанализировать его график и выяснить, сколько раз он пересекает ось x. Однако, для уравнений, содержащих тригонометрические функции, такой метод не всегда удобен. Вместо этого, мы можем воспользоваться аналитическим решением.

Уравнение: 4sin(x/2) - cos(x) + 1 = 0

Для начала, попробуем преобразовать его. Заметим, что:

4sin(x/2) - cos(x) + 1 = 2 * 2sin(x/2) - cos(x) + 1

Теперь, вспомним формулы тригонометрии:

sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

Таким образом:

2sin(x/2) = sin(x)

Подставим это в исходное уравнение:

sin(x) - cos(x) + 1 = 0

Теперь, сгруппируем sin(x) и cos(x):

(sin(x) - cos(x)) + 1 = 0

Приравняем к нулю:

sin(x) - cos(x) = -1

Теперь воспользуемся тригонометрической тождеством: sin(θ) = cos(π/2 - θ)

sin(x) - sin(π/2 - x) = -1

Используем разность синусов:

2sin((x - π/4)/2)cos((x + π/4)/2) = -1

Делим обе части на 2:

sin((x - π/4)/2)cos((x + π/4)/2) = -1/2

Теперь посмотрим на интервал [0, 2π]. На этом интервале синус положителен в первой и второй четверти (0 < x < π), и отрицателен в третьей и четвертой четверти (π < x < 2π). Аналогично, косинус положителен в первой и четвертой четверти, и отрицателен во второй и третьей четверти.

Теперь посмотрим на уравнение sin((x - π/4)/2)cos((x + π/4)/2) = -1/2:

-1/2 = -1/2 * 1 или -1/2 = 1 * -1/2

Таким образом, уравнение имеет два возможных решения: одно при положительном синусе и положительном косинусе, а другое при отрицательном синусе и отрицательном косинусе.

1. При sin(x) = 1/2 и cos(x) = -1/2 (находятся в первой четверти): x = π/6

2. При sin(x) = -1/2 и cos(x) = 1/2 (находятся в третьей четверти): x = 5π/6

Таким образом, на интервале [0, 2π] данное уравнение имеет два корня: x = π/6 и x = 5π/6.