Question

Вычислить длину дуги кривой {x=t-sin(t) {y=1-cos(t) 0<=t<=2п Смотреть ответ guvanch021272 guvanch021272 Ответ: 8 Пошаговое объяснение: x=t-sint; y=1-cost; 0≤t≤2π x'(t)=(t-sint)'=1-cost y'(t)=(1-cost)'=sint (x'(t))²+(y'(t))²=(1-cost)²+(sint)²=1-2cost+cos²t+sin²t= =1-2cost+1=2-2cost=2-2(1-2sin²(t/2))=4sin²(t/2) 0≤t≤2π⇒0≤t/2≤π⇒sint/2≥0⇒|sint/2|=sint/2 L=∫√((x'(t))²+(y'(t))²)dt=∫√(4sin²(t/2))dt= =∫|2sin(t/2)|dt=2∫sin(t/2)dt=2·(-2cos(t/2))= =-4cos(t/2)=-4[cos(2π/2)-cos(0/2)]=-4(-1-1)=8

Answer 1

Вы правильно вычислили длину дуги кривой с параметрическими уравнениями $x(t) = t - \sin(t)$ и $y(t) = 1 - \cos(t)$ на интервале $0 \leq t \leq 2\pi$. Ваша математическая работа корректна, и результат верен: длина дуги этой кривой равна $8$.