Question

Определите количество корней уравнения sinx=a на промежутке (-П/6 ; 2П/3] в зависимости от значения параметра а.

Answer 1

При х от -π/6 до нуля - корней всегда один (а отрицательно). Значение синуса достигает максимума при х=0,5*π. Тогда двойные корни возможны в диапазоне от 0,5*π до 2*π/3 (интервал равен 2*π/3-0,5*π≈0,524 радиан) в большую сторону и от 0,5*π до 0,5*π-0,524≈1,047 радиан, в котором значения а от sin(2*π/3) до 1 .При х от нуля до 1, 047 радиан (диапазон а от нуля до sin(2*π/3) также всего один корень.

Answer 2

Для определения количества корней уравнения sin(x) = a на промежутке $\left(-\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}\right]$, где $a$ - параметр, нужно рассмотреть различные значения $a$ и исследовать соответствующие уравнения.

Напомним некоторые свойства функции синуса:

• $sin(x)$ принимает значения от -1 до 1.
• $sin(x)$ пересекает ось $x$ (имеет корень) в точках $x = k\pi$ для целого $k$.
• $sin(x)$ имеет максимумы и минимумы в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ и $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ для целых $k$.

Теперь рассмотрим несколько случаев:

1. $a = 0$: Уравнение превращается в $sin(x) = 0$. Это уравнение имеет бесконечное количество корней, так как $sin(x) = 0$ при $x = k\pi$ для любого целого $k$, и все эти корни лежат в интервале $\left(-\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}\right]$.

2. $|a| > 1$: Так как значения синуса ограничены интервалом $[-1, 1]$, уравнение $sin(x) = a$ не имеет решений в данном промежутке $\left(-\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}\right]$.

3. $-1 \leq a \leq 1$, $a \neq 0$: Так как значения синуса ограничены интервалом $[-1, 1]$, уравнение $sin(x) = a$ будет иметь решения в данном промежутке $\left(-\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}\right]$.

4. $a = 1$ или $a = -1$: В этом случае уравнение превращается в $sin(x) = 1$ или $sin(x) = -1$ соответственно. У обоих уравнений есть ровно одно решение в указанном промежутке.

Таким образом, в зависимости от значения параметра $a$, количество корней уравнения $sin(x) = a$ на промежутке $\left(-\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}\right]$ будет разным:

• $a = 0$ : бесконечное количество корней
• $|a| > 1$ : ноль корней
• $-1 \leq a \leq 1$ (и $a \neq 0$) : ненулевое количество корней
• $a = 1$ или $a = -1$ : один корень