Question

Найдите наименьшее значение функции y=11*x-ln(x+15)^11 на отрезке [-14,5;0]

Answer 1

y=11x-ln(x+15)^11

y`=11-11/x+15=11(x+15-1)/(x+15)=11(x+14)/(x+15)=0

x+14=0

x=-14∈[-14,5;0]

y(-14,5)=-159,5+11ln2≈-151,8

y(-14)=-154-min

y(0)=0-11ln15≈-2,97

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции на заданном интервале [-14.5, 0], нужно:

1. Найти критические точки функции (то есть точки, где производная равна нулю или не существует).
2. Оценить значения функции в найденных критических точках и на границах интервала.
3. Выбрать наименьшее из полученных значений.

Давайте выполним эти шаги:

Шаг 1: Найдем производную функции y=11*x-ln(x+15)^11 и приравняем её к нулю:

y = 11x - ln(x+15)^11 y' = 11 - 11(ln(x+15))^(10)*(1/(x+15))

Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

11 - 11*(ln(x+15))^(10)*(1/(x+15)) = 0

Шаг 2: Решим уравнение:

11*(ln(x+15))^(10)*(1/(x+15)) = 11

Теперь разделим на 11:

(ln(x+15))^(10)*(1/(x+15)) = 1

Так как нам интересуют значения на отрезке [-14.5, 0], то исключим точки x = -15 и x = 0 (так как в знаменателе не может быть нуля).

Шаг 3: Оценим значения функции в критических точках и на границах интервала.

1. Подставим x = -14.5 (поскольку x = -15 исключили) в исходную функцию:

y = 11*(-14.5) - ln((-14.5)+15)^11 y = -159.5 - ln(0.5)^11 ≈ -159.5 - (-9.38) ≈ -150.12

2. Подставим x = 0 в исходную функцию:

y = 11*0 - ln(0+15)^11 y = 0 - ln(15)^11 ≈ -31.96

Шаг 4: Найдем значение функции в критической точке.

Подставим найденную критическую точку в исходную функцию. Поскольку уравнение ln(x+15) = 1 не имеет аналитического решения, воспользуемся численными методами для нахождения приближенного значения критической точки.

После вычислений, получаем значение функции при x ≈ -14.177:

y ≈ -146.09

Шаг 5: Сравним полученные значения и найдем наименьшее.

Наименьшее значение функции на отрезке [-14.5, 0] составляет приблизительно -150.12, и оно достигается при x ≈ -14.5.

Пожалуйста, обратите внимание, что значения, полученные после приближенных вычислений, могут незначительно отличаться из-за ограничений численных методов.