Question

Для функции f x найдите первообразную график которой проходит через точку f(x)=cos2x,A(pi/2;0)

Answer 1

Общий вид первообразной: $\tt \displaystyle F(x)=\int \cos 2x\,\, dx=\frac{\sin2x}{2}+C$

Подставим координаты точки A(п/2;0) в общий вид первообразной

$\tt 0=\dfrac{\sin2\cdot\frac{\pi}{2} }{2}+C \\ C=0$

$\tt \boxed{\tt F(x)=\frac{\sin2x}{2}}$ - искомая первообразная.

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции f(x), график которой проходит через точку (x, y) = (π/2, 0) и f(x) = cos(2x), мы должны найти функцию F(x), которая является первообразной для cos(2x) и удовлетворяет условию F(π/2) = 0.

Интеграл от cos(2x) можно найти следующим образом:

∫cos(2x) dx = (1/2) * ∫cos(2x) d(2x) = (1/2) * ∫cos(u) du, где u = 2x

Теперь проинтегрируем cos(u) относительно u:

(1/2) * ∫cos(u) du = (1/2) * sin(u) + C, где C - произвольная постоянная.

Теперь вернемся к переменной x, заменив u обратно:

F(x) = (1/2) * sin(2x) + C.

Теперь мы хотим найти конкретное значение постоянной C, используя условие F(π/2) = 0. Подставим x = π/2:

F(π/2) = (1/2) * sin(2 * π/2) + C F(π/2) = (1/2) * sin(π) + C F(π/2) = (1/2) * 0 + C F(π/2) = C

Таким образом, значение постоянной C равно 0.

Итак, первообразная функции f(x) = cos(2x), проходящая через точку (x, y) = (π/2, 0), равна:

F(x) = (1/2) * sin(2x).