Question

2. а) Для функции f(x)=3x2+2x−3 найти первообразную, график которой проходит через точку М (1; -2). б) Для функции f(x)=cosx+sinx найти первообразную, график которой проходит через точку М (0; -2). ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

для каждой функции имеется целое семейство первообразных. конкретная определяется путем указания конкретного значения константы. что мы и будем делать

а) f(x)=3x²+2x−3

F(x) = ∫f(x)dx  =3∫x² dx +2∫x dx −3∫dx = 3*(1/3)x³ +2*(1/2)x² -3x  +C=

= x³+x²-3x + C

теперь найдем конкретную первообразную, проходящую через точку (1;-2)

-2= 1³+1²-3 +С ⇒ С = -1

вот теперь уравнение первообразной F(x) = x³+x²-3x -1

б) все делаем абсолютно аналогично

f(x)=cosx+sinx

F(x) =  ∫f(x) dx=∫(cosx+sinx) dx = ∫cosx dx +∫sinx dx = sinx - cosx +C

-2 = sin(0) - cos(0) +C ⇒ C= -1

F(x) = sinx - cosx -1

Answer 2

Конечно, я помогу вам найти первообразные для данных функций и определить константы интегрирования так, чтобы графики проходили через указанные точки.

а) Для функции $f(x) = 3x^2 + 2x - 3$ мы должны найти первообразную $F(x)$, такую что $F'(x) = f(x)$.

Интегрируя каждый член по отдельности, получим: $F(x) = \int (3x^2 + 2x - 3) \, dx = x^3 + x^2 - 3x + C,$ где $C$ - произвольная постоянная.

Теперь нам дана точка $M(1, -2)$, через которую должен проходить график первообразной. Подставим координаты точки $M$ в уравнение первообразной: $-2 = (1)^3 + (1)^2 - 3(1) + C.$ Решив это уравнение относительно $C$, получаем $C = -3$.

Итак, первообразная, проходящая через точку $M(1, -2)$, имеет вид: $F(x) = x^3 + x^2 - 3x - 3.$

б) Для функции $f(x) = \cos x + \sin x$ мы также найдем первообразную $F(x)$, чтобы $F'(x) = f(x)$.

Интегрируя каждый член по отдельности, получим: $F(x) = \int (\cos x + \sin x) \, dx = -\cos x + \cos x - C,$ где $C$ - произвольная постоянная.

Мы должны также учесть точку $M(0, -2)$. Подставим координаты точки $M$ в уравнение первообразной: $-2 = -\cos(0) + \cos(0) - C.$ Учитывая, что $\cos(0) = 1$, решим это уравнение относительно $C$: $C = 2.$

Итак, первообразная, проходящая через точку $M(0, -2)$, имеет вид: $F(x) = -\cos x + 2.$

Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.