Question

В стране Мульти-Пульти выпущены банкноты номиналом 43 сантика. Малыш и Карлсон, имея только эти банкноты, зашли в кафе. Карлсон заказал 5 стаканов газированой воды и 16 пироженых и заплатил за них без сдачи Малыш заказал 3 стакана газированой воды и 1 пироженое докажите что сколько бы не стоила вода и пироженые Малыш тоже может расчитаться без сдачи.

Answer 1

Пусть один стакан газированной воды стоит m, а одно пироженое n
Тогда сумма чека Карлсона:
(5m+16n ) и по условию она делится на 43

Тогда умножим её на 3, и
3( 5m+16n) тоже делится на 43
С другой стороны:
3( 5m+16n)=15m+48n=
=5(3m+n)+43n делится на 43

второе слагаемое делится на 43, и
так как 5 и 43 взаимно простые числа, то на 43
должен делиться второй множитель первого слагаемого, то есть
(3m+n), а это и есть та сумма , которую заплатил Малыш. Следовательно, и он может вполне рассчитаться без сдачи

Answer 2

Для того чтобы доказать, что Малыш также может расплатиться без сдачи, нужно показать, что сумма его заказа является кратной номиналу банкноты (43 сантика).

Пусть x - стоимость одного стакана газированной воды, а y - стоимость одного пироженого.

Тогда заказ Малыша составляет 3x (3 стакана газированной воды) + y (1 пироженое).

Так как номинал банкноты равен 43 сантика, для того чтобы Малыш смог расплатиться без сдачи, общая стоимость его заказа должна быть равна некоторому числу, кратному 43.

Мы можем записать уравнение:

3x + y = 43k

где k - некоторое целое число (количество купюр номиналом 43 сантика, которые Малыш предоставит для оплаты заказа).

Мы знаем, что Карлсон заплатил без сдачи за свой заказ:

5x + 16y = 43m

где m - некоторое целое число (количество купюр номиналом 43 сантика, которые Карлсон предоставил для оплаты своего заказа).

Теперь давайте проверим, можем ли мы подобрать значения x и y, такие чтобы оба уравнения были верны одновременно.

Для этого сначала решим уравнение, соответствующее заказу Карлсона, относительно x:

5x = 43m - 16y

x = (43m - 16y) / 5

Теперь заменим значение x в уравнении заказа Малыша:

3 * ((43m - 16y) / 5) + y = 43k

Теперь преобразуем уравнение:

129m - 48y + 5y = 215k

129m - 43y = 215k

43(3m - y) = 215k

Так как 215 делится на 43, то и (3m - y) тоже должно делиться на 43, чтобы уравнение имело решение.

Теперь попробуем найти такие значения m и y, чтобы 3m - y было кратно 43. Попробуем значения m = 1, 2, 3, ...

При m = 1: 3m - y = 3 - y (не делится на 43) При m = 2: 3m - y = 6 - y (не делится на 43) При m = 3: 3m - y = 9 - y (не делится на 43) ... При m = 8: 3m - y = 24 - y (не делится на 43) При m = 9: 3m - y = 27 - y (не делится на 43) При m = 10: 3m - y = 30 - y (не делится на 43) ... При m = 51: 3m - y = 153 - y (не делится на 43) При m = 52: 3m - y = 156 - y (делится на 43)

Мы видим, что при m = 52, 3m - y равно 156, что делится на 43 (156 = 43 * 3).

Таким образом, если Карлсон предоставит 52 купюры номиналом 43 сантика (всего 52 * 43 = 2236 сантиков), то Малыш сможет расплатиться без сдачи, предоставив 3 купюры номиналом 43 сантика (всего 3 * 43 = 129 сантиков) за стаканы газированной воды и 1 купюру номиналом 43 сантика за пироженое. Общая сумма заказа Малыша будет равна 2236 сантиков, что кратно номиналу банкноты, и он сможет оплатить его без сдачи.