Question

2sin5xsin3x+sin(π/2−8x)=–√3/2найдите наименьший положительный корень уравнения

Answer 1

Решение (см. изображение)

Answer 2

Чтобы найти наименьший положительный корень уравнения, давайте решим его шаг за шагом. Уравнение выглядит следующим образом:

2sin(5x)sin(3x) + sin(π/2 - 8x) = -√3/2

Давайте решим сначала уравнение sin(π/2 - 8x):

sin(π/2 - 8x) = sin(π/2)cos(8x) - cos(π/2)sin(8x) = cos(8x)

Теперь подставим это значение обратно в исходное уравнение:

2sin(5x)sin(3x) + cos(8x) = -√3/2

Теперь воспользуемся тригонометрической формулой:

sin(A)sin(B) = 1/2[cos(A-B) - cos(A+B)]

Применим эту формулу для членов 2sin(5x)sin(3x):

2sin(5x)sin(3x) = 1/2[cos(5x-3x) - cos(5x+3x)] = 1/2[cos(2x) - cos(8x)]

Теперь уравнение примет вид:

1/2[cos(2x) - cos(8x)] + cos(8x) = -√3/2

Упростим его:

1/2[cos(2x) + cos(8x)] = -√3/2

Теперь избавимся от деления на 1/2:

cos(2x) + cos(8x) = -√3

Заметим, что это уравнение не содержит синусов, поэтому для поиска корней нам не нужно беспокоиться о нулевых значениях синуса. Мы можем рассмотреть значения косинуса в интервале [-1, 1].

Поскольку нас интересуют только положительные корни, мы будем рассматривать уравнение на интервале [0, π/2].

Найдем значения cos(2x) и cos(8x) при x = 0 и x = π/2:

1. При x = 0: cos(2x) = cos(0) = 1 cos(8x) = cos(0) = 1

2. При x = π/2: cos(2x) = cos(π) = -1 cos(8x) = cos(4π) = 1

Таким образом, уравнение примет значения: cos(2x) + cos(8x) = -√3

1 + 1 = 2 ≠ -√3 (при x = 0) -1 + 1 = 0 ≠ -√3 (при x = π/2)

Между x = 0 и x = π/2, функция cos(2x) + cos(8x) будет непрерывной и монотонно убывать (поскольку коэффициенты при косинусах положительны).

Это означает, что между этими значениями находится корень уравнения. Мы можем использовать метод бисекции (или другие численные методы) для нахождения этого корня, однако, без точных численных значений, я не могу предоставить точное значение наименьшего положительного корня.

Если у вас есть какая-то конкретная начальная точка для метода численной аппроксимации, вы можете продолжить поиск корня уравнения методом бисекции или иными численными методами.