Question

Какое одно и то же число нужно прибавить к числам 100 и 164, чтобы обе полученные суммы были квадратами целых чисел? Ответ обосновать.

Answer 1

Необходимо найти такое число х, чтобы

164 + х = а² и 100 + х = b², где а и b - целые числа,

причем a > b, a > 12, b > 10. a + b > 22.

Вычтем из первого уравнения второе.

Получим: 64 = (a + b)(a - b).

Если a + b = 64, и a - b = 1, то 2а = 65.

Этого быть не может, так как а - целое число.

Рассмотрим следующий вариант:

a + b = 32, a - b = 2. Отсюда а = 17, b = 15.

Это удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, х = 125.

-------------------------------

Ответ: 125.

Answer 2

Мы знаем,что корень из 100 это 10.
а корень из 164 близко к 13.
поэтому возводим в квадрат,числа которые больше 13.
1)14×14=196. к первому числу+96,ко второму+96.получаем 196 и 260
из корня 260 ничего не выходит.
Берём следующее число:
2)15×15=225. первое число+125,второе+125.получаем 225 и 289.
√225=15
√289=17
ответ: к каждому числу надо прибавить 125

Answer 3

Чтобы обе полученные суммы были квадратами целых чисел, нам нужно найти число, которое прибавляется к 100 и 164, чтобы обе суммы стали квадратами.

Давайте предположим, что число, которое нам нужно прибавить, равно "х". Тогда мы должны решить следующие два уравнения:

1. $100 + x = a^2$, где "а" - целое число.
2. $164 + x = b^2$, где "b" - целое число.

Мы знаем, что квадраты целых чисел могут иметь только два типа остатков при делении на 4: 0 или 1.

• Если целое число "a" имеет остаток 0 при делении на 4, то его квадрат $a^2$ также будет иметь остаток 0 при делении на 4.
• Если целое число "a" имеет остаток 1 при делении на 4, то его квадрат $a^2$ будет иметь остаток 1 при делении на 4.

Теперь давайте рассмотрим наши два уравнения:

1. $100 + x = a^2$

   Левая часть уравнения имеет остаток 0 при делении на 4 (так как 100 делится на 4 без остатка), а значит, правая часть, т.е., $a^2$, также должна иметь остаток 0 при делении на 4.

2. $164 + x = b^2$

   Левая часть уравнения имеет остаток 0 при делении на 4 (так как 164 делится на 4 без остатка), а значит, правая часть, т.е., $b^2$, также должна иметь остаток 0 при делении на 4.

Теперь давайте посмотрим на возможные остатки $x$ при делении на 4:

• $x$ имеет остаток 0 при делении на 4: В таком случае, $x$ само является квадратом целого числа, и оба уравнения будут иметь решения. Например, если $x = 0$, то $100 + x = 100$ и $164 + x = 164$ - оба являются квадратами (10^2 и 12^2 соответственно).

• $x$ имеет остаток 1 при делении на 4: В этом случае, уравнение $100 + x = a^2$ не имеет решений, так как $100 + x$ будет иметь остаток 1 при делении на 4 (например, при $x = 1$, $100 + x = 101$ - не является квадратом целого числа). Однако, уравнение $164 + x = b^2$ может иметь решение. Например, при $x = 1$, $164 + x = 165$, что равно $15^2$.

Итак, чтобы обе суммы стали квадратами целых чисел, мы должны прибавить число 1 к числам 100 и 164.