Question

Доказать тождество sin.t*cos.t(tg.t+ctg.t)=1 помогите решить пожалуйста

Answer 1

Основное тригонометрическое тождество и определение tg t и ctg t

Answer 2

Для доказательства данного тождества, используем тригонометрические тождества и свойства функций тангенса и котангенса. Давайте начнем:

Тождество: sin(t) * cos(t) * (tan(t) + cot(t)) = 1

Шаг 1: Замените тангенс и котангенс через синусы и косинусы: tan(t) = sin(t) / cos(t) cot(t) = cos(t) / sin(t)

Теперь тождество выглядит следующим образом: sin(t) * cos(t) * (sin(t)/cos(t) + cos(t)/sin(t)) = 1

Шаг 2: Упростите выражение в скобках: sin(t) * cos(t) * [(sin^2(t) + cos^2(t)) / (cos(t) * sin(t))] = 1

Шаг 3: Замените sin^2(t) + cos^2(t) на 1 (тождество Пифагора): sin(t) * cos(t) * (1 / (cos(t) * sin(t))) = 1

Шаг 4: Сократите sin(t) и cos(t): 1 = 1

Шаг 5: Так как последнее выражение верно, тождество подтверждается.

Таким образом, доказано, что sin(t) * cos(t) * (tan(t) + cot(t)) = 1 при условии, что t не равен (2n + 1) * π/2, где n - целое число, так как в этих точках тангенс и котангенс не существуют.