Question

Вычислить производные f(x)= ㏑ sin²4x; f'(π/16) f(x)=e^sin2x-3e^cos2x; f'(0)С подробным решением, а не просто ответ

Answer 1

Ловите пошагово. Удачи!

Answer 2

Давайте вычислим производные данных функций по шагам:

1. Вычислим производную функции f(x) = ㏑(sin²(4x)):

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Обозначим внутреннюю функцию как u(x) = sin²(4x) и внешнюю функцию как v(u) = ㏑(u).

Тогда f(x) = v(u(x)), и производная f'(x) будет равна:

f'(x) = v'(u(x)) * u'(x),

где v'(u) - производная функции v(u), а u'(x) - производная функции u(x).

Вычислим производные по шагам:

a) Найдем u'(x):

u(x) = sin²(4x).

Применим правило дифференцирования сложной функции, где внутренняя функция u = sin(4x) и внешняя функция v = u²:

u'(x) = 2 * u * u'(4x).

Найдем u'(4x) как производную от sin(4x):

u'(4x) = cos(4x) * 4 = 4cos(4x).

Теперь, подставив u'(4x) в формулу для u'(x), получим:

u'(x) = 2 * sin(4x) * 4cos(4x) = 8sin(4x)cos(4x).

b) Найдем v'(u):

v(u) = ㏑(u).

Для этого просто найдем производную ln(u):

v'(u) = d/dx (㏑(u)) = 1/u.

Теперь, подставим полученные значения u'(x) и v'(u) в общую формулу для производной f'(x):

f'(x) = v'(u(x)) * u'(x) = (1/u) * 8sin(4x)cos(4x).

Теперь, чтобы вычислить f'(π/16), подставим x = π/16 в f'(x):

f'(π/16) = (1/u) * 8sin(4 * π/16)cos(4 * π/16) = (1/u) * 8sin(π/4)cos(π/4) = (1/u) * 8 * (1/√2) * (1/√2) = 8/u.

Теперь нужно найти значение u при x = π/16:

u(x) = sin²(4x) = sin²(4 * π/16) = sin²(π/4) = (1/√2)² = 1/2.

Таким образом, f'(π/16) = 8/(1/2) = 16.

2. Теперь вычислим производную функции f(x) = e^(sin(2x)) - 3e^(cos(2x)):

Для этого вычислим производные каждой составляющей по отдельности.

a) Найдем производную первой части e^(sin(2x)):

d/dx (e^(sin(2x))) = cos(2x) * e^(sin(2x)).

b) Найдем производную второй части -3e^(cos(2x)):

d/dx (-3e^(cos(2x))) = -3 * (-sin(2x)) * e^(cos(2x)) = 3sin(2x) * e^(cos(2x)).

Теперь, найдем f'(x) как сумму производных каждой части:

f'(x) = cos(2x) * e^(sin(2x)) + 3sin(2x) * e^(cos(2x)).

Теперь, чтобы найти f'(0), подставим x = 0 в f'(x):

f'(0) = cos(2 * 0) * e^(sin(2 * 0)) + 3sin(2 * 0) * e^(cos(2 * 0)) = cos(0) * e^(sin(0)) + 3sin(0) * e^(cos(0)) = 1 * e^0 + 3 * 0 * e^1 = 1 + 0 = 1.

Таким образом, f'(0) = 1.