Question

Известно, что x^2+y^2+1/2≤x+y. Доказать, что x+y=1

Answer 1

x² + y² - x - y +0,5 ≤ 0 ⇔ (x - 0,5)² + (y - 0,5 )² ≤ 0 ⇔ x = y = 0,5 ⇒ x +y = 1

cумма 2 неотрицательных величин неположительна , если каждая из них равна нулю

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение.

Условие, которое дано: x^2 + y^2 + 1/2 ≤ x + y

Мы должны доказать, что если выполняется данное условие, то x + y = 1.

Допустим, условие верно:

x^2 + y^2 + 1/2 ≤ x + y ...(1)

Теперь предположим, что x + y ≠ 1. Это означает, что x + y < 1 или x + y > 1.

1. Допустим, x + y < 1:

Теперь давайте возводим (x + y) в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(x + y)^2 < 1

x^2 + 2xy + y^2 < 1 ...(2)

Теперь рассмотрим уравнение (1):

x^2 + y^2 + 1/2 ≤ x + y

Перенесем все члены в одну часть:

x^2 + y^2 - x - y + 1/2 ≤ 0 ...(3)

Теперь вычитаем (2) из (3):

(x^2 + y^2 - x - y + 1/2) - (x^2 + 2xy + y^2) ≤ 0

x^2 + y^2 - x - y + 1/2 - x^2 - 2xy - y^2 ≤ 0

-3xy + 1/2 ≤ 0

Так как x и y - вещественные числа, то произведение -3xy всегда будет меньше или равно нулю, а 1/2 - положительное число. Таким образом, данное уравнение не выполняется, исходное предположение (x + y < 1) неверно.

2. Теперь рассмотрим второй вариант, когда x + y > 1:

Теперь давайте возводим (x + y) в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(x + y)^2 > 1

x^2 + 2xy + y^2 > 1 ...(4)

Теперь рассмотрим уравнение (1):

x^2 + y^2 + 1/2 ≤ x + y

Перенесем все члены в одну часть:

x^2 + y^2 - x - y + 1/2 ≤ 0 ...(5)

Теперь вычитаем (4) из (5):

(x^2 + y^2 - x - y + 1/2) - (x^2 + 2xy + y^2) ≤ 0

x^2 + y^2 - x - y + 1/2 - x^2 - 2xy - y^2 ≤ 0

-3xy + 1/2 ≤ 0

Так как x и y - вещественные числа, то произведение -3xy всегда будет меньше или равно нулю, а 1/2 - положительное число. Таким образом, данное уравнение не выполняется, исходное предположение (x + y > 1) неверно.

Таким образом, все возможные предположения, что x + y ≠ 1, приводят к противоречию, и они неверны. Значит, наше исходное предположение, что x + y ≠ 1, неверно. Следовательно, x + y должно быть равно 1.