Question

Пусть p простое число и больше 5. Обоснуйте , что при делении числа p в квадрате на 5 получаем остаток 1 или 4 ;а при делении p в квадрате на 24 получаем 1.

Answer 1

Число p простое большее 5 значит имеет вид

5к+1 или 5к+2 или 5к+3 или 5к+4

При возведении в квадрат получаем

25к^2+10k+1,    25к^2+20k+4,    25к^2+30k+5+4,   25к^2+40k+15+1

Видно, что остатки квадратов от деления на 5 равны или 1 или 4.

p^2-1=(p-1)(p+1)

р - простое, большее 5, значит нечетное значит при делении на 4 имеет в остатке 1 или 3. Тогда одно из р-1 или р+1 делится на 4, а другое на 2, значит произведение p^2-1=(p-1)(p+1) делится на 8.

При делении на 3 число р дает в остатке 2 или 1, тогда одно из р-1 или р+1 делится на 3. значит и p^2-1=(p-1)(p+1) делится на 3.

Так как число р^2-1 делится одновременно на взаимно простые числа 3 и 8 значит оно делится на 24. значит само число р^2 при делении на 24 дает в остатке 1.

Answer 2

Для того чтобы обосновать, что при делении числа p в квадрате на 5 получаем остаток 1 или 4, и при делении p в квадрате на 24 получаем 1, воспользуемся свойствами арифметики и знаниями о простых числах.

1. Остаток при делении p^2 на 5: Заметим, что любое натуральное число можно представить в виде одного из пяти возможных остатков при делении на 5: 0, 1, 2, 3 или 4. Теперь рассмотрим случай, когда p - простое число и больше 5.

Возможные остатки числа p при делении на 5:

• p = 5k (остаток 0)
• p = 5k + 1 (остаток 1)
• p = 5k + 2 (остаток 2)
• p = 5k + 3 (остаток 3)
• p = 5k + 4 (остаток 4)

Теперь возведем каждое из этих представлений в квадрат и рассмотрим полученные остатки:

• (5k)^2 = 25k^2, остаток при делении на 5 - 0
• (5k + 1)^2 = 25k^2 + 10k + 1, остаток при делении на 5 - 1
• (5k + 2)^2 = 25k^2 + 20k + 4, остаток при делении на 5 - 4
• (5k + 3)^2 = 25k^2 + 30k + 9, остаток при делении на 5 - 4
• (5k + 4)^2 = 25k^2 + 40k + 16, остаток при делении на 5 - 1

Мы видим, что остатки при делении p^2 на 5 могут быть только 0, 1 или 4. Таким образом, при делении числа p в квадрате на 5 получаем остаток 1 или 4.

2. Остаток при делении p^2 на 24: Посмотрим теперь на остатки при делении p^2 на 24.

Остатки числа p при делении на 24:

• p = 24k (остаток 0)
• p = 24k + 1 (остаток 1)
• p = 24k + 2 (остаток 2)
• p = 24k + 3 (остаток 3)
• ...
• p = 24k + 22 (остаток 22)
• p = 24k + 23 (остаток 23)

Теперь возведем каждое из этих представлений в квадрат и рассмотрим полученные остатки:

• (24k)^2 = 576k^2, остаток при делении на 24 - 0
• (24k + 1)^2 = 576k^2 + 48k + 1, остаток при делении на 24 - 1
• (24k + 2)^2 = 576k^2 + 96k + 4, остаток при делении на 24 - 4
• (24k + 3)^2 = 576k^2 + 144k + 9, остаток при делении на 24 - 9
• ...
• (24k + 22)^2 = 576k^2 + 1056k + 484, остаток при делении на 24 - 4
• (24k + 23)^2 = 576k^2 + 1104k + 529, остаток при делении на 24 - 1

Мы видим, что все остатки при делении p^2 на 24 дают 1. Таким образом, при делении числа p в квадрате на 24 получаем остаток 1.

Итак, при условии, что p - простое число и больше 5, мы доказали, что при делении числа p в квадрате на 5 получаем остаток 1 или 4, и при делении p в квадрате на 24 получаем 1.