Question

а) Натуральное число a дает при делении на 5 остаток 3. Какой остаток может оно давать при делении на 10? При делении на 15? При делении на 20? б) p – простое число. Натуральное число a дает при делении на p остаток k. Какой остаток может давать a при делении на 2p? Какой остаток может давать a при делении на 5p? в) Даны натуральное число a и простое число p такие, что a не делится на p и сумма остатков от деления числа a на p, 2p, 3p... 20p делится на p. Найдите все возможные значения p.

Answer 1

А)18
Б)2к
Это не точно но с младшей сестрой решали втоде так

Answer 2

а) Если натуральное число a даёт при делении на 5 остаток 3, то возможные остатки при делении на 10 могут быть только 3 и 8. При делении на 15 возможные остатки могут быть только 3 и 13. При делении на 20 возможные остатки могут быть только 3 и 13.

б) Если натуральное число a даёт при делении на p остаток k, то при делении на 2p остаток может быть равен k или k + p. При делении на 5p остаток может быть равен k, k + p, k + 2p, k + 3p или k + 4p.

в) Для данного случая нам дано, что сумма остатков от деления числа a на p, 2p, 3p, ..., 20p делится на p. Дано также, что a не делится на p. Это означает, что сумма остатков без учёта остатка от деления на p лежит в промежутке от 1 до 19p. Чтобы эта сумма делилась на p, нужно, чтобы остаток от деления этой суммы на p равнялся нулю. Это возможно только если сумма остатков равна 20p.

Таким образом, возможные значения p в данном случае могут быть простыми числами, на которых сумма остатков от деления на p, 2p, 3p, ..., 20p равна p.