Question

Вычислить значение 2-й производной в точке х=2 для функции у=6х дробь 1-х²

Answer 1

$y = \frac{6x}{1 - {x}^{2} } \\ y' = \frac{(6x)'(1 - {x}^{2}) - 6x(1 - {x}^{2})' }{ {(1 - {x}^{2} })^{2} } = \frac{6 - 6 {x}^{2} + 12 {x}^{2} }{(1 - {x}^{2} )^{2} } = \frac{6 + 6 {x}^{2} }{ {(1 - {x}^{2} })^{2} } \\ y'' = \frac{(6 + 6 {x}^{2})' {(1 - {x}^{2} })^{2} - (6 + 6 {x}^{2})( ({1 - {x}^{2} })^{2} ) '}{ ({1 - {x}^{2} })^{4} } = \frac{12x( {1 - {x}^{2} })^{2} - (6 + 6 {x}^{2} )(2(1 - {x}^{2} )( - 2x)}{({1 - {x}^{2} })^{4}} = \frac{12x(1 - {x}^{2}) + 4x(6 + 6 {x}^{2} )(1 - {x}^{2}) }{({1 - {x}^{2} })^{4}} = \frac{(1 - {x}^{2} )(12x + 24x + 24 {x}^{3} )}{({1 - {x}^{2} })^{4}} = \frac{12x(3 + 2{x}^{2} )}{({1 - {x}^{2} })^{3} } = |x = 2| = \frac{12 \times 2(3 + 2 \times {2}^{2} )}{({1 - {2}^{2} })^{3}} = \frac{24 \times 11}{ - 27} = - \frac{88}{9} = - 9 \frac{7}{9}$

Answer 2

Для вычисления второй производной функции у=6х/(1-х²) в точке х=2, сначала найдем первую производную, а затем возьмем её производную снова.

1. Найдем первую производную функции у=6х/(1-х²): Используем правило производной частного функций: (u/v)' = (u'v - uv') / v²

y = 6x / (1 - x²)

Посчитаем производные: y' = (6(1 - x²) - 6x(-2x)) / (1 - x²)² y' = (6 - 6x² + 12x²) / (1 - x²)² y' = (6 + 6x²) / (1 - x²)²

2. Теперь найдем вторую производную: Для этого снова применим правило производной частного.

y'' = ((6 + 6x²)'(1 - x²)² - (6 + 6x²)(1 - x²)²') / (1 - x²)⁴

y'' = (12x(1 - x²)(1 - x²)² - (6 + 6x²)(2x(1 - x²))) / (1 - x²)⁴

y'' = (12x(1 - x²)³ - 2x(1 - x²)(6 + 6x²)) / (1 - x²)⁴

3. Теперь подставим значение x=2 и вычислим вторую производную в этой точке:

y''(x=2) = (122(1 - 2²)³ - 22(1 - 2²)(6 + 6*2²)) / (1 - 2²)⁴

y''(x=2) = (24*(-3)³ - 4*(-3)*(6 + 24)) / (1 - 4)⁴

y''(x=2) = (-216 - 4*(-30)) / (-3)⁴

y''(x=2) = (-216 + 120) / 81

y''(x=2) = -96 / 81

y''(x=2) = -32 / 27

Итак, значение второй производной функции у=6х/(1-х²) в точке х=2 равно -32/27.