Question

Докажите , что 1*2*3*...*1000*1001 + 1002*1003*1004*...*2000*2001*2002 будет делится на 2003

Answer 1

Все ппрста 1*2*3*123*100*10+1002*1003*1004*5*2000*2001*2002:2003= ответ

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, мы можем воспользоваться методом математической индукции. Мы хотим показать, что сумма двух произведений будет делиться на 2003.

Шаг 1: Базовый случай Проверим базовый случай, когда n = 1. Для n = 1 у нас есть:

1 * 2 * 3 * ... * 1000 * 1001 + 1002 * 1003 * 1004 * ... * 2000 * 2001 * 2002

Теперь заметим, что 2003 является простым числом, и для того чтобы доказать, что сумма делится на 2003, достаточно показать, что каждое слагаемое делится на 2003.

При n = 1, первое слагаемое равно 1 * 2 * 3 * ... * 1000 * 1001 = 1001! (факториал числа 1001). Второе слагаемое равно 1002 * 1003 * 1004 * ... * 2000 * 2001 * 2002 = 1002! (факториал числа 2002).

Теперь мы знаем, что 1001! + 1002! делится на 2003, так как оба слагаемых меньше 2003 и 2003 является простым числом. Таким образом, базовый случай доказан.

Шаг 2: Предположение индукции Допустим, утверждение верно для n = k:

1 * 2 * 3 * ... * 1000 * 1001 + 1002 * 1003 * 1004 * ... * (1000 + k) * ... * 2000 * 2001 * 2002

Для этого предположения, сумма делится на 2003.

Шаг 3: Индукционный переход Докажем, что утверждение верно для n = k + 1:

1 * 2 * 3 * ... * 1000 * 1001 + 1002 * 1003 * 1004 * ... * (1000 + k + 1) * ... * 2000 * 2001 * 2002

Теперь рассмотрим разность между суммами для n = k + 1 и n = k:

(1 * 2 * 3 * ... * 1000 * 1001 + 1002 * 1003 * 1004 * ... * (1000 + k + 1) * ... * 2000 * 2001 * 2002) - (1 * 2 * 3 * ... * 1000 * 1001 + 1002 * 1003 * 1004 * ... * (1000 + k) * ... * 2000 * 2001 * 2002)

Мы видим, что первое слагаемое в разности - это произведение от (1000 + k + 1) до 2002. Мы можем выделить общий множитель (1000 + k + 1) из каждого слагаемого:

(1000 + k + 1) * (1000 + k + 2) * ... * 2001 * 2002

Теперь заметим, что этот выражение соответствует произведению от 1 до 1001:

1001! = 1 * 2 * 3 * ... * 1000 * 1001

Следовательно, разность между суммами равна 1001!, которая уже делится на 2003 по предположению индукции.

Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для n = k, то оно также верно для n = k + 1. Из базового случая мы знаем, что оно верно для n = 1. По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных чисел n.

Таким образом, сумма 1 * 2 * 3 * ... * 1000 * 1001 + 1002 * 1003 * 1004 * ... * 2000 * 2001 * 2002 делится на 2003.