Question

Вероятность того, что школьник получит двойку за контрольный диктант, равна 0,03. Найти вероятность того, что из 12 школьников двойку получат: а) ровно 7 школьников; б) более пяти школьников; в) наивероятнейшее число школьников.

Answer 1

Вероятность того, что школьник не получит двойку за контрольный диктант, равна q = 1 - p = 1 - 0.03 = 0.97

a) Вероятность того, что из 12 школьников двойку получат ровно 7 школьников, равна (по формуле Бернулли)

$P_{12}(7)=C^7_{12}p^7q^{12-7}=\dfrac{12!}{5!7!}\cdot0.03^7\cdot0.97^5\approx0.0000000143$

б) Вероятность того, что из 12 школьников двойку получат более пяти школьников, равна

$P_{12}(k>5)=1-P_{12}(k\leq5)=1-P_{12}(5)-P_{12}(4)-P_{12}(3)-P_{12}(2)-\\ \\ -P_{12}(1)-P_{12}(0)=1-C^5_{12}p^5q^7-C^4_{12}p^4q^8-C^3_{12}p^3q^9-C^2_{12}p^2q^{10}-\\ \\ -C^1_{12}pq^{11}-q^{12}=0.00524$

в)  Вероятность того, что из 12 школьников двойку получат наивероятнейшее число школьников:

Число $k_0$ - наивероятнейшее, определяется из следующего двойного неравенства

$np-q \leq k_0\leq np+p\\ 12\cdot0.03-0.97\leq k_0\leq 12\cdot0.03+0.03\\ -0.61\leq k_0\leq0.39$

Наивероятнейшее будет при $k_0=0$

Вероятность равна $P_{12}(0)=q^{12}=0.97^{12}\approx0.694$

Answer 2

Для решения этой задачи будем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть два возможных исхода (получение двойки или не получение) для каждого школьника, и вероятность успеха (получение двойки) для каждого школьника составляет 0,03, что означает, что вероятность неудачи (не получение двойки) составляет 1 - 0,03 = 0,97.

Формула для вероятности успеха k раз в n независимых испытаниях:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

Где: P(X = k) - вероятность успеха k раз в n испытаниях, C(n, k) - число сочетаний из n по k, p - вероятность успеха в одном испытании, (1 - p) - вероятность неудачи в одном испытании, n - общее число испытаний (школьников).

a) Вероятность того, что ровно 7 школьников получат двойку:

n = 12 (общее число школьников) k = 7 (количество школьников, получивших двойку) p = 0,03 (вероятность получения двойки)

P(X = 7) = C(12, 7) * 0,03^7 * (1 - 0,03)^(12 - 7)

Вычислим значение:

P(X = 7) = 792 * 0,0000002187 * 0,970299

P(X = 7) ≈ 0,0001656099

б) Вероятность того, что более пяти школьников получат двойку:

Это равно сумме вероятностей получения двойки для k от 6 до 12:

P(X > 5) = Σ [ P(X = k) ] по k от 6 до 12

Вычислим значение:

P(X > 5) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12)

P(X > 5) ≈ 0,00003186

в) Наиболее вероятное количество школьников, получивших двойку:

Для биномиального распределения наиболее вероятное количество успехов (школьников, получивших двойку) можно найти по формуле:

k = n * p

где k - наиболее вероятное количество успехов (школьников, получивших двойку), n - общее количество испытаний (школьников), p - вероятность успеха в одном испытании (вероятность получения двойки).

Вычислим значение:

k = 12 * 0,03

k = 0,36

Так как количество школьников должно быть целым числом, то наиболее вероятное количество школьников, получивших двойку, равно 0 или 1.