Question

Для сигналізації про аварії на космічному кораблі використовуються сигналізатори двох типів: А та В, кожен з яких спрацьовує з імовірністю 0,8 й 0,9 відповідно. Імовірність того, що корабель обладнаний одним з таких сигналізаторів, відповідно дорівнює 0,6 й 0,4. У центр керування польотами надійшов сигнал про аварію. Яким сигналізатором найімовірніше обладнаний корабель?

Answer 1

C - сигнализация об аварии типов А и В

H₁ - сигнализатор типа А

H₂ - сигнализатор типа В

Вероятность события А: $P(C)=P(C|H_1)P(H_1)+P(C|H_2)P(H_2)=0.6\cdot0.8+0.4\cdot0.9=0.84$

Вероятность того, что сигнал поступит из сигнализатора типа А, по формуле Байеса, равна

$\displaystyle P(H_1|C)=\dfrac{P(C|H_1)P(H_1)}{P(C)}=\frac{0.6\cdot0.8}{0.84}\approx0.571$

Вероятность того, что сигнал поступит из сигнализатора типа В, равна:

$\displaystyle P(H_2|C)=\dfrac{P(C|H_2)P(H_2)}{P(C)}=\frac{0.4\cdot0.9}{0.84}\approx0.429$

Сигнализатором типа А будет наиболее вероятнее.....

Answer 2

Давайте позначимо події:

• A: корабель обладнаний сигналізатором типу А
• B: корабель обладнаний сигналізатором типу В
• E: надійшов сигнал про аварію

Ми хочемо знайти ймовірність P(A|E) того, що корабель обладнаний сигналізатором типу А при умові, що надійшов сигнал про аварію.

Згідно з формулою Байєса, ми можемо знайти цю ймовірність:

P(A|E) = P(A) * P(E|A) / P(E)

де: P(A) - ймовірність того, що корабель обладнаний сигналізатором типу А (0,6) P(E|A) - умовна ймовірність того, що надійшов сигнал про аварію при умові, що корабель обладнаний сигналізатором типу А (0,8) P(E) - загальна ймовірність надходження сигналу про аварію (будь-якого типу)

Аналогічно для сигналізатора типу В:

P(B|E) = P(B) * P(E|B) / P(E)

де: P(B) - ймовірність того, що корабель обладнаний сигналізатором типу В (0,4) P(E|B) - умовна ймовірність того, що надійшов сигнал про аварію при умові, що корабель обладнаний сигналізатором типу В (0,9)

Зауважимо, що P(E) - загальна ймовірність надходження сигналу про аварію, може бути розкладена на дві можливості - надійшов сигнал типу А і надійшов сигнал типу В:

P(E) = P(A) * P(E|A) + P(B) * P(E|B)

Підставляючи вирази для P(E), P(A), P(B), P(E|A) та P(E|B) в формулу Байєса, маємо:

P(A|E) = (0,6 * 0,8) / (0,6 * 0,8 + 0,4 * 0,9) ≈ 0,571

P(B|E) = (0,4 * 0,9) / (0,6 * 0,8 + 0,4 * 0,9) ≈ 0,429

Таким чином, ймовірність того, що корабель обладнаний сигналізатором типу А при умові, що надійшов сигнал про аварію, більше - приблизно 0,571, тоді як ймовірність того, що корабель обладнаний сигналізатором типу В, менше - приблизно 0,429. Тому найімовірніше корабель обладнаний сигналізатором типу А.