Question

Визначте яку криву задає рівняння х^2+4х-4у+16=0. Знайдіть основні параметри кривої та зобразіть її графічно. ( С рисунком )

Answer 1

Выразим заданное уравнение относительно у:

у = (1/4)х² + х + 4.

Получаем функцию, график которой - парабола ветвями вверх.

Её вершина: Хо = -в/2а = -1/(2/4) = -2.

                      Уо = (1/4)*4 - 2 + 4 = 3.

Так как вершина выше оси Ох, то её она не пересекает.

Ось Оу пересекает при х = 0, у = 4.  

Answer 2

Для того щоб з'ясувати, яку криву задає рівняння, спершу перетворимо його у стандартну форму кривої.

Рівняння: $x^2 + 4x - 4y + 16 = 0$

Крок 1: Перенесемо всі терміни, що містять змінну y, на один бік, а все інше на протилежний бік.

$4y = x^2 + 4x + 16$

Крок 2: Розділимо все рівняння на 4, щоб позбавитись коефіцієнта при y.

$y = \frac{x^2}{4} + x + 4$

Тепер ми отримали рівняння у стандартній формі для певної кривої. Крива, задана цим рівнянням, є параболою.

Основні параметри параболи:

1. Вершина параболи, яка має координати (h, k), де h - координата вершини за осі x, а k - координата вершини за осі y. У нашому випадку, h = -1 (знак змінений через x^2) і k = 4.
2. Фокус параболи. Фокус також має координати (h, k + 1/(4a)), де a - коефіцієнт перед x^2 в рівнянні. У нашому випадку, a = 1/4, тому фокус матиме координати (-1, 5).
3. Директриса параболи, яка паралельна осі x і знаходиться на відстані 1/(4a) від вершини параболи. У нашому випадку директриса є пряма y = 3.

Тепер зобразимо графік параболи з отриманими параметрами:

На графіку видно, що парабола відкрита вгору та має вершину в точці (-1, 4). Також зображено фокус та директрису параболи.