Question

Как решить показательное неравенство

Answer 1

${5}^{2x } - 6 \times {5}^{x } + 5 \geqslant 0 \\ {5}^{x} = t \\ {t}^{2} - 6t + 5 \geqslant0 \\ {t}^{2} - 6t + 5 = 0 \\ \frac{d}{4} = 9 - 5 = 4 = {2}^{2} \\ t = 3 + 2 = 5 \\ t = 3 - 2 = 1 \\ t\in( - \infty;1]\cup[ 5 ;+ \infty) \\ x\in( - \infty;0]\cup[ 1;\infty)$

Answer 2

Для решения показательного неравенства, вам нужно определить интервалы, на которых неравенство выполняется. Рассмотрим общий вид показательного неравенства:

$a^x < b,$

где $a$ и $b$ — положительные числа, причем $a \neq 1$, и $x$ — неизвестное значение.

Для решения показательного неравенства можно применить следующие шаги:

Шаг 1: Перепишите неравенство так, чтобы все слагаемые находились только на одной стороне:

$a^x - b < 0.$

Шаг 2: Если это возможно, представьте неравенство в виде произведения:

$f(x) < 0,$

где $f(x)$ — некоторая функция.

Шаг 3: Найдите критические точки, при которых функция $f(x)$ равна нулю или не существует.

Шаг 4: Постройте знаковую линию и определите знак функции $f(x)$ на каждом интервале между критическими точками.

Шаг 5: Найдите интервалы, на которых $f(x) < 0$, и это и будет решением исходного неравенства.

Приведу пример для иллюстрации:

Пусть у нас есть неравенство:

$2^x < 8.$

Шаг 1: Перепишем его в виде:

$2^x - 8 < 0.$

Шаг 2: Представим в виде произведения:

$f(x) = 2^x - 8 < 0.$

Шаг 3: Найдем критическую точку:

$2^x - 8 = 0.$ $2^x = 8.$ $x = 3.$

Шаг 4: Построим знаковую линию:

scssCopy code
(-∞)----(3)----(∞)
   -      0     +

Шаг 5: Найдем интервалы, на которых $f(x) < 0$:

Из знаковой линии видно, что это интервал $(-\infty, 3)$.

Таким образом, решением исходного показательного неравенства $2^x < 8$ является интервал $(-\infty, 3)$.