Question

Докажите, что бесконечную непериодическую десятичную дробь нельзя записать в виде дроби p/q

Answer 1

Для начала бесконечность это число умноженное/делённое на 0, чтобы найти бесконечную десятичную друбь на надо её умножить на 0

Answer 2

Для доказательства того, что бесконечную непериодическую десятичную дробь нельзя записать в виде дроби p/q, где p и q - целые числа, предположим обратное и докажем от противного.

Предположим, что у нас есть бесконечная непериодическая десятичная дробь x, которую можно представить в виде p/q, где p и q - целые числа, причем q ≠ 0 и p и q не имеют общих делителей, кроме 1.

Так как x - бесконечная десятичная дробь, она имеет следующий вид:

x = a0.a1a2a3...an...

Где ai - цифры дробной части числа x.

Теперь представим это число в виде обыкновенной дроби:

x = a0 + a1/10 + a2/10^2 + a3/10^3 + ... + an/10^n + ...

Теперь умножим обе стороны на 10^n, где n - некоторое целое число:

10^nx = 10^n(a0 + a1/10 + a2/10^2 + a3/10^3 + ... + an/10^n + ...)

Получим:

10^nx = a010^n + a110^(n-1) + a210^(n-2) + ... + an + an/10 + ... + an/10^n + ...

Теперь вычтем из исходного уравнения полученное уравнение:

(10^nx) - x = (a010^n + a110^(n-1) + a210^(n-2) + ... + an + an/10 + ... + an/10^n + ...) - (a0.a1a2a3...an...)

На правой стороне уравнения выражения в скобках полностью сокращаются, так как мы вычитаем исходное число x из себя же. Это означает, что на левой стороне уравнения мы получаем:

(10^n*x) - x = 0

Теперь выразим x:

10^n*x = x

Теперь поделим обе стороны на x (при условии, что x ≠ 0):

10^n = 1

Теперь вопрос: когда 10^n может равняться 1? Ответ: только когда n = 0.

Таким образом, мы приходим к выводу, что 10^0 = 1, а значит, исходная бесконечная дробь x должна быть представлена в виде обыкновенной дроби без дробной части. Это означает, что она не является бесконечной непериодической дробью, что противоречит нашему исходному предположению.

Поэтому бесконечную непериодическую десятичную дробь нельзя представить в виде обыкновенной дроби p/q.