Question

Алексея попросили перемножить несколько идущих друг за другом натуральных чисел,начиная с единицы. Полученное произведение у Алексея заканчивалось ровна на 5 нулей. Докажите,что при подсчете он допустил ошибку

Answer 1

Такие произведения называются факториалами и записываются так:

1! = 1; 2! = 1*2 = 2; 3! = 1*2*3 = 6; 4! = 1*2*3*4 = 24; 5! = 1*2*3*4*5 = 120.

Дальше все факториала заканчиваются нулями.

Нулей будет столько, сколько 5 есть в разложении на множители.

Если он получил 5 нулей, значит, было 5 пятерок.

Выписываем числа, кратные 5:

5, 10 = 2*5, 15 = 3*5, 20 = 4*5, 25 = 5*5.

В числах до 24 встречается 4 пятёрки. Число 25 даёт сразу 2 пятёрки.

Всего 6. Поэтому 5 пятерок (и 5 нулей в ответе) получиться не могло.

Впрочем, неудивительно, что он ошибся. Число 25! - 26-значное.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что Алексей допустил ошибку, нужно понять, почему произведение натуральных чисел, оканчивающихся на 5 нулей, невозможно получить.

Произведение чисел может оканчиваться на ноль только в том случае, если в этом произведении есть множитель 10, так как 10 = 2 * 5. Иными словами, чтобы получить число, оканчивающееся на ноль, необходимо иметь в произведении хотя бы одну пару чисел, где одно из них делится на 2, а другое - на 5.

Давайте рассмотрим первые несколько натуральных чисел:

1 * 2 = 2 (не оканчивается на ноль) 1 * 2 * 3 = 6 (не оканчивается на ноль) 1 * 2 * 3 * 4 = 24 (не оканчивается на ноль) 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120 (оканчивается на один ноль) 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 = 720 (оканчивается на два нуля)

Мы видим, что первые три произведения не оканчиваются нулями, а произведение с пятью множителями оканчивается на один ноль. Для того чтобы получить число, оканчивающееся на пять нулей, необходимо, чтобы в произведении было хотя бы пять двоек и пять пятерок. Однако, если мы посчитаем количество двоек в первых нескольких произведениях:

1 * 2 = 2 (1 двойка) 1 * 2 * 3 = 6 (1 двойка) 1 * 2 * 3 * 4 = 24 (3 двойки) 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120 (3 двойки)

Мы видим, что для получения произведения, оканчивающегося на пять нулей, нам не хватает пяти двоек. Аналогично, с пятерками:

1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120 (1 пятерка)

Для получения произведения с пятью нулями, нам не хватает пяти пятерок.

Таким образом, мы не можем получить произведение, оканчивающееся на пять нулей, при умножении натуральных чисел, начиная с единицы. Это означает, что Алексей допустил ошибку в своих вычислениях.