Question

Найдите наименьшее значение функции у=x^2(x-8)+10 на отрезке -9: 5

Answer 1

Ответ:

y наим = у(-9) = -1367

Пошаговое объяснение:

у = х²(х - 8) + 10

у = х³ -  8х² - 10

Производная

y' = 3x² - 16x

Найдём точки экстремумов функции

y' = 0

3x² - 16x = 0

x(3x - 16) = 0

x₁ = 0;  

$x_{2}= \dfrac{16}{3} = 5\dfrac{1}{3} .$

При х ∈ (-∞; 0)U( $5\frac{1}{3}$; +∞) y' > 0 и функция возрастает

При х ∈(0; $5\frac{1}{3}$)  y' < 0 и функция убывает

Точка $x= 5\frac{1}{3}$ является точкой минимума, но она находится за пределами заданного интервала исследования (-9; 5), поэтому проверим значения функции на краях интервала

В точке х = 5, на правом краю интервала:

у(5) = 5² · (5 - 8) + 10 = - 65.

В точке х = -9, на левом краю интервала:

у(-9) = (-9)² · (-9 - 8) + 10 = - 1367

у наим = у(-9) = -1367

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение функции у = x^2(x - 8) + 10 на отрезке [-9, 5], нужно найти точки экстремума на данном отрезке. Экстремумы могут быть либо минимумами, либо максимумами.

Шаги решения:

1. Найдем производную функции y по x.

2. Решим уравнение y' = 0 для поиска критических точек.

3. Проверим значения функции в критических точках и на границах отрезка [-9, 5].

4. Найдем наименьшее значение функции среди полученных значений.

5. Найдем производную функции y по x:

у' = d/dx(x^2(x - 8) + 10) у' = 2x(x - 8) + x^2

2. Решим уравнение у' = 0:

0 = 2x(x - 8) + x^2

Разложим уравнение на множители:

0 = x(2x - 16) + x^2 0 = x(2x - 16 + x)

Получаем два возможных значения для x:

x = 0 или 2x - 16 + x = 0 3x = 16 x = 16/3 ≈ 5.33

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 0 и x ≈ 5.33.

3. Проверим значения функции в критических точках и на границах отрезка [-9, 5]:

a) x = -9:

у = (-9)^2(-9 - 8) + 10 у = 81(-17) + 10 у = -1377 + 10 у = -1367

b) x = 0:

у = 0^2(0 - 8) + 10 у = 0(0) + 10 у = 10

c) x ≈ 5.33:

у ≈ (5.33)^2(5.33 - 8) + 10 у ≈ 5.33^2(-2.67) + 10 у ≈ 5.33^2(-2.67) + 10 у ≈ -15.99 + 10 у ≈ -5.99

d) x = 5:

у = 5^2(5 - 8) + 10 у = 5^2(-3) + 10 у = -15 + 10 у = -5

4. Найдем наименьшее значение функции среди полученных значений:

Минимальное значение функции равно -1367, которое достигается при x = -9.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-9, 5] равно -1367.