Question

Даны вершины Треугольника ABC: A(0;3;4), B(4;-1;2), C(1;1;2) Найдите внутренний угол треугольника при вершине A

Answer 1

Находим координаты векторов:

АВ:(4; -4; -2) и АС(1; -2; -2).

Скалярное произведение равно 4*1+(-4)*(-2)+(-2)*(-2) = 16.

Модули: |AB| = √(4² + (-4)² + (-2)²) = √(16+16+4) = √36 = 6.

|AC| = √(1² + (-2)² + (-2)²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3.

Тогда cos A =  16/(6*3) = 16/18 = 8/9.

A = arc cos(8/9) = 0,47588225 радиан или 27,26604445 град уса.

Answer 2

Для того чтобы найти внутренний угол треугольника при вершине A (угол BAC), мы можем воспользоваться формулой косинусов.

Формула косинусов для нахождения угла треугольника: cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2 * b * c)

где A - угол между сторонами b и c, a - противолежащая сторона угла A.

Для нахождения угла BAC нам понадобятся координаты точек B и C, а также длины сторон треугольника AB, AC и BC.

Длина стороны треугольника можно найти по формуле расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве: d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

Где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты точек, между которыми ищется расстояние, а d - длина стороны.

Давайте найдем длины сторон треугольника AB, AC и BC:

AB: d_AB = sqrt((4 - 0)^2 + (-1 - 3)^2 + (2 - 4)^2) = sqrt(4 + 16 + 4) = sqrt(24) = 2 * sqrt(6)

AC: d_AC = sqrt((1 - 0)^2 + (1 - 3)^2 + (2 - 4)^2) = sqrt(1 + 4 + 4) = sqrt(9) = 3

BC: d_BC = sqrt((1 - 4)^2 + (1 - (-1))^2 + (2 - 2)^2) = sqrt(9 + 4 + 0) = sqrt(13)

Теперь мы можем найти косинус угла BAC:

cos(A) = (d_AB^2 + d_AC^2 - d_BC^2) / (2 * d_AB * d_AC) cos(A) = ( (2 * sqrt(6))^2 + 3^2 - sqrt(13)^2 ) / (2 * 2 * sqrt(6) * 3) cos(A) = (24 + 9 - 13) / (12 * sqrt(6)) cos(A) = 20 / (12 * sqrt(6))

Теперь найдем сам угол A, взяв обратный косинус полученного значения:

A = arccos(20 / (12 * sqrt(6)))

Вычислить точное значение этого угла в виде числа без калькулятора сложно, так как требуется вычисление арккосинуса. Если хотите получить приближенное значение угла, можно воспользоваться калькулятором:

A ≈ 38.6°

Таким образом, внутренний угол треугольника при вершине A составляет приблизительно 38.6 градусов.