Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x^2 + 2, y = 6

Answer 1

Ответ: S= 10 2/3 (≈10.66) - площадь.

Рисунок к задаче в приложении.

Дано: y1=x^2+2,  y=6

Найти: S=? - площадь фигуры

Пошаговое объяснение:

1) Находим точки пересечения графиков.

x^2-4=0 - квадратное уравнение

a = 2- верхний предел, b = -2- нижний предел.

2) Площадь - интеграл разности функций.

f(x) = -4+*x^2 - подинтегральная функция

3) Интегрируем функцию и получаем:

F(x) = -4*x+1/3*x³

4) Вычисляем на границах интегрирования.

S(а) = S(2) = -8+2 2/3 = - 5 1/3

S(b) = S(-2) =-8 -2 2/3 = 5 1/3

 S = S(a) - S(b)  = 10 2/3 ≈10,666 - площадь

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями, нужно найти точки их пересечения, а затем вычислить определенный интеграл от разности между функциями y = x^2 + 2 и y = 6 на соответствующем интервале.

Сначала найдем точки пересечения двух функций:

x^2 + 2 = 6

Вычтем 2 с обеих сторон:

x^2 = 4

Извлекаем корень:

x = ±√4

Таким образом, точки пересечения находятся при x = 2 и x = -2.

Теперь вычислим площадь между кривыми на интервале [-2, 2]:

Площадь = ∫(y = 6 - y = x^2 + 2) dx, от -2 до 2.

Площадь = ∫(6 - x^2 - 2) dx, от -2 до 2.

Площадь = ∫(4 - x^2) dx, от -2 до 2.

Для вычисления этого интеграла нам понадобится знание о функции. После подсчетов получим значение площади. Давайте вычислим этот интеграл:

∫(4 - x^2) dx = [4x - (x^3)/3] от -2 до 2

Теперь подставим пределы:

Площадь = [4 * 2 - (2^3)/3] - [4 * (-2) - ((-2)^3)/3]

Площадь = [8 - 8/3] - [-8 + 8/3]

Площадь = 8/3 + 8/3

Площадь = 16/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 2 и y = 6 на интервале [-2, 2], составляет 16/3 или около 5.33 квадратных единиц.