Question

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 25% по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит 5 млн рублей.

Answer 1

Пусть  размер кредита равен А млн. рублей.

В середине 1-го года долг возрастёт на 25%, то есть увеличиться на  $\frac{25}{100}\cdot A=0,25A$  млн. рублей , и станет равным (А+0,25А)=1,25А млн. руб. (Можно сказать, что сумма долга увеличилась в 1,25 раз и становится равной  1,25А млн.руб.)

В конце 1-го года заёмщик выплачивает только % по кредиту, то есть выплачивает 0,25А млн. руб. Аналогично, в конце  2-го года заёмщик выплачивает 0,25А млн. руб. В сумме за два года погашается сумма в 0,25А+0,25А=0,5А млн.руб.

В середине 3-го года сумма долга сначала возрастает в 1,25 раза, то есть становится равной 1,25А, а в конце этого года выплачивается некоторая сумма, равная Х млн.руб. После выплаты заёмщиком этих Х млн.руб. в конце 3-го года останется долг, равный  (1,25А-Х) млн.руб.

В середине 4-го года долг опять увеличиться в 1,25 ( от оставшейся суммы долга) и станет равным 1,25*(1,25А-Х). В конце 4-го года заёмщик должен выплатить Х млн. руб., т.к. он по условию задачи должен в конце 3-го и 4-го годов выплатить равные суммы.И так как это будет последний платёж, то заёмщик уже погасит  долг до 0 . Отсюда получаем уравнение:

$1,25\cdot (1,25A-X)-X=0\\\\1,25^2A-1,25X-X=0\; \; \to \; \; \; 1,25^2A=2,25X\\\\X=\frac{1,25^2A}{2,25}$

Теперь найдём общую сумму выплат:

$0,5A+2X=0,5A+2\cdot \frac{1,25^2A}{2,25}=(\frac{1}{2}+\frac{3,125}{2,25})\cdot A=\frac{17}{9}\cdot A$

По условию общая сумма выплат превышает 5 млн.руб., значит

$\frac{17}{9}\cdot A>5\; \; \Rightarrow \; \; A>\frac{5\cdot 9}{17}\; ,\; \; A>\frac{45}{17}\; ,\; \; A>2\frac{11}{17}$

Наименьшее целое число, при котором выполняется последнее неравенство - это число 3. Значит, наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 5 млн.руб. , равна 3 млн.руб.

Answer 2

Давайте разберемся в этой задаче шаг за шагом.

Пусть х - это первоначальный размер кредита в миллионах рублей.

На конец первого года долг заемщика увеличивается на 25%, то есть становится 1.25х.

На конец второго года долг увеличивается еще на 25%, теперь он равен (1.25)² * х.

На конец третьего года долг увеличивается еще на 25% и становится (1.25)³ * х.

На конец четвертого года долг увеличивается последний раз на 25%, тогда он равен (1.25)⁴ * х.

Теперь определим выплаты заемщика по годам:

1. В конце первого года заемщик выплачивает только проценты, это составляет 25% * х = 0.25х миллионов рублей.
2. В конце второго года заемщик выплачивает также только проценты, и это составляет 25% * (1.25х) = 0.3125х миллионов рублей.
3. В конце третьего года заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая долг и проценты. Это составляет (1.25)² * х - х = 0.5625х миллионов рублей.
4. В конце четвертого года заемщик также выплачивает одинаковые суммы, погашая оставшийся долг и проценты. Это составляет (1.25)³ * х - (1.25)² * х = 0.890625х миллионов рублей.

Теперь найдем общую сумму выплат заемщика:

Общая сумма = 0.25х + 0.3125х + 0.5625х + 0.890625х = 2.015125х миллионов рублей.

Мы хотим, чтобы эта сумма превысила 5 миллионов рублей:

2.015125х > 5

Теперь найдем значение х:

х > 5 / 2.015125

х > 2.484915 миллионов рублей.

Таким образом, наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит 5 млн рублей, составляет около 2.484915 миллионов рублей.