Question

Решить дифференциальное уравнение y'sin^2(x)=ylny

Answer 1

$y'\cdot sin^2x=y\cdot lny\\\\\frac{dy}{dx}=\frac{y\cdot lny}{sin^2x}\\\\\int \frac{dy}{y\cdot lny}=\int \frac{dx}{sin^2x}\\\\\int \frac{d(lny)}{lny}=\int \frac{dx}{sin^2x}\\\\ln|lny|=-ctgx+C$

Answer 2

Відповідь:

(sinx)•y' = y• ln y  

Разделяющиеся переменные.  

dy/(y•lny)=dx/sinx => ∫d(lny)/lny=∫dx/sinx  

ln|lny|=∫dx/(2sin(x/2)•cos(x/2))=∫d(x/2)/(tg(x/2)•cos²(x/2))=  

=∫d(tg(x/2))/tg(x/2)=ln|tg(x/2)+C.  

lny=C•tg(x/2) => y=e^(C•tg(x/2)).

Покрокове пояснення:

Answer 3

Дано дифференциальное уравнение:

$y\sin^2(x) = y\ln(y)$

Чтобы решить это уравнение, нужно выразить $y$ как функцию $x$ и решить получившееся уравнение.

Давайте начнем с выделения $y$ на одну сторону уравнения:

$y\sin^2(x) - y\ln(y) = 0$

Теперь факторизуем $y$ из двух членов:

$y(\sin^2(x) - \ln(y)) = 0$

Теперь у нас есть два возможных случая:

1. $y = 0$

2. $\sin^2(x) - \ln(y) = 0$

Для первого случая уравнение $y = 0$ дает нам решение.

Для второго случая, выразим $y$ относительно $x$:

$\ln(y) = \sin^2(x)$

Теперь возведем обе стороны уравнения в экспоненту:

$y = e^{\sin^2(x)}$

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения:

$y(x) = 0 \quad \text{или} \quad y(x) = e^{\sin^2(x)}$

Это уравнение имеет два возможных решения в зависимости от начальных условий или других ограничений, которые необходимо учитывать при решении конкретных задач.