Question

Как вычислить предел, используя эквивалентные бесконечно малые функции?

Answer 1

Воспользуемся формулой Тейлора

≈ $\lim_{x \to 10} \frac{3 +\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{10-1}}(x-10) - 3}{x-10} = 1/6$

Answer 2

Вычисление пределов с помощью эквивалентных бесконечно малых функций является одним из методов математического анализа. Он основан на том, что если две функции ведут себя очень похожим образом при стремлении аргумента к некоторому значению, то их пределы в этой точке также будут равны.

Для использования этого метода необходимо знать некоторые эквивалентные бесконечно малые функции. Некоторые из наиболее часто используемых эквивалентных бесконечно малых в окрестности точки x = a представлены ниже:

1. Если x стремится к 0, то следующие функции являются эквивалентными бесконечно малыми:

   • sin(x) ~ x
   • tan(x) ~ x
   • arcsin(x) ~ x
   • arctan(x) ~ x
   • ln(1 + x) ~ x
   • e^x - 1 ~ x
   • (1 + x)^n - 1 ~ nx (при n ≠ 0)

2. Если x стремится к бесконечности, то следующие функции являются эквивалентными бесконечно малыми:

   • e^x - 1 ~ x
   • ln(1 + x) ~ x
   • sin(x) ~ x
   • tan(x) ~ x
   • arcsin(x) ~ x
   • arctan(x) ~ x

Когда вы сталкиваетесь с пределами, которые могут быть выражены через одну из указанных эквивалентных бесконечно малых функций, вы можете применить соответствующее равенство и упростить выражение.

Важно отметить, что использование эквивалентных бесконечно малых функций не является формальным доказательством, и иногда требуется более строгое математическое обоснование. Поэтому убедитесь, что условия применимости метода удовлетворяются в каждом конкретном случае.