Question

Помогите найти производную n-го порядка функции y=sinx*cos2x

Answer 1

$y=1/2(\sin3x-\sin x)\\y^{n}=1/2(3^n\sin(3x+\frac{\pi }{2} *n)-\sin( x+\frac{\pi }{2} *n))$

Answer 2

Для нахождения производной n-го порядка функции y = sin(x) * cos(2x) по x, нужно n раз продифференцировать исходную функцию.

Давайте начнем с первой производной:

y' = d/dx (sin(x) * cos(2x))

Для упрощения, воспользуемся формулой производной произведения двух функций (u * v)' = u' * v + u * v':

y' = (sin(x))' * cos(2x) + sin(x) * (cos(2x))'

Теперь найдем производные от синуса и косинуса:

(sin(x))' = cos(x)

(cos(2x))' = -sin(2x) * (2)' = -2sin(2x)

Подставим значения обратно в уравнение:

y' = cos(x) * cos(2x) - 2sin(2x) * sin(x)

Теперь найдем вторую производную, продифференцировав полученную функцию по x:

y'' = d/dx (cos(x) * cos(2x) - 2sin(2x) * sin(x))

Используем формулу производной суммы (u + v)' = u' + v':

y'' = (cos(x))' * cos(2x) + cos(x) * (cos(2x))' - (2sin(2x))' * sin(x) - 2sin(2x) * (sin(x))'

(sin(x))' = cos(x)

(cos(2x))' = -2sin(2x)

(2sin(2x))' = 2 * 2cos(2x) = 4cos(2x)

Подставим значения обратно в уравнение:

y'' = -cos(x) * cos(2x) - 2sin(x) * (-2sin(2x)) - 4cos(2x) * sin(x)

Упростим полученное выражение:

y'' = -cos(x) * cos(2x) + 4sin(x) * sin(2x) - 4cos(2x) * sin(x)

Для нахождения производных более высоких порядков, продолжаем продифференцировать полученные уравнения, применяя соответствующие правила дифференцирования.