Question

мистера Фокса есть 16 черных единичных кубиков и много белых. Он хочет построить из них некоторый параллелепипед так, что на его поверхности была наибольшая возможная площадь черной области. Чему будет равна эта площадь?

Answer 1

Наибольшая площадь черной области возможна в случае, если все черные кубики стоят в один ряд, а белые являются продолжением этого ряда. (См. рис.)

Причем, важно, чтобы первый и последний кубики в ряду были черными, так как у крайних кубиков не задействована в площади поверхности всего одна грань. Положение остальных черных кубиков внутри ряда может быть произвольным, - у каждого, в любом случае, в площади поверхности будет задействовано 4 грани.

Действительно, любая другая форма параллелепипеда приведет к тому, что количество черных граней, соприкасающихся друг с другом, и, следовательно, исключенных из площади поверхности, будет возрастать, а площадь черного цвета - уменьшаться.

Максимально возможная площадь черной области в таком параллелепипеде будет равна:

Sч.п. = 2 · 5а² + 14 · 4а² = 66а², где а - сторона кубика.

Принимая сторону кубика за единицу, получим:

Sч.п. = 66 (ед.²)

Answer 2

Для того чтобы на поверхности параллелепипеда была наибольшая возможная площадь черной области, необходимо сделать так, чтобы черные кубики образовывали наибольшее возможное количество граней параллелепипеда. Каждый черный кубик может образовывать до 3 граней (так как у кубика 6 граней, и если он находится внутри параллелепипеда, то видимыми будут только 3 грани).

Допустим, у нас есть n черных кубиков, каждый из которых образует 3 грани параллелепипеда. Тогда общее количество граней, образованных черными кубиками, будет равно 3n.

Теперь наша задача - максимизировать количество белых граней нашего параллелепипеда. Каждый белый кубик образует всего 1 грань параллелепипеда, независимо от того, сколько белых кубиков у нас есть.

Предположим, у нас есть m белых кубиков, каждый из которых образует 1 грань параллелепипеда. Тогда общее количество белых граней, образованных белыми кубиками, будет равно m.

Теперь, чтобы максимизировать площадь черной области на поверхности параллелепипеда, необходимо максимизировать суммарное количество граней, то есть максимизировать выражение 3n + m.

У нас есть 16 черных кубиков, каждый из которых образует 3 грани, то есть 3 * 16 = 48 черных граней.

У нас нет ограничений на количество белых кубиков, поэтому пусть m будет как можно больше.

Таким образом, наибольшая возможная площадь черной области на поверхности параллелепипеда будет равна 48 квадратным единицам.