Question

Производная неявной функции y=cos(x) ^x^1/3 Заранее спасибо

Answer 1

$y=(cosx)^{x^{1/3}}\\\\lny=x^{\frac{1}{3}}\cdot ln(cosx)\\\\\frac{y'}{y}=\frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{2}{3}}\cdot ln(cosx)+x^{\frac{1}{3}}\cdot \frac{1}{cosx}\cdot (-sinx)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\cdot ln(cosx)-\sqrt[3]{x}\cdot tgx\\\\y'=y\cdot \Big (\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\cdot ln(cosx)-\sqrt[3]{x}\cdot tgx\Big )\\\\y'=cosx^{x^{\frac{1}{3}}}\cdot \Big (\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\cdot ln(cosx)-\sqrt[3]{x}\cdot tgx\Big )$

Answer 2

Для нахождения производной неявной функции y = cos(x)^(x^(1/3)), сначала продифференцируем обе стороны уравнения по переменной x. Затем, используя правила дифференцирования, найдем производную y по x.

Для удобства обозначим y = cos(x)^(x^(1/3)) как y = u^v, где u = cos(x) и v = x^(1/3). Теперь продифференцируем обе части уравнения по x:

d/dx(y) = d/dx(u^v)

Используем правило дифференцирования для функции вида u^v:

d/dx(u^v) = u^v * (dv/dx * ln(u) + v * du/dx)

Теперь найдем производные dv/dx и du/dx:

dv/dx = d/dx(x^(1/3))

Для этого воспользуемся правилом степенной функции:

dv/dx = (1/3) * x^((1/3) - 1) * d/dx(x) = (1/3) * x^(-2/3)

du/dx = d/dx(cos(x))

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования для косинуса:

du/dx = -sin(x)

Теперь, подставим значения dv/dx и du/dx обратно в исходное уравнение:

d/dx(y) = u^v * ((1/3) * x^(-2/3) * ln(u) + v * (-sin(x)))

Теперь подставим обратно значения u и v:

u = cos(x) v = x^(1/3)

d/dx(y) = cos(x)^(x^(1/3)) * ((1/3) * x^(-2/3) * ln(cos(x)) + x^(1/3) * (-sin(x)))

Это и есть производная неявной функции y = cos(x)^(x^(1/3)).