Question

Найти производную сложной функции. Помогите, пожалуйстаy=(sin^3x+cos^3*2x)

Answer 1

(sin^3(x)+cos^3(2x))'=3*sin^2(x)*(sin(x))'+3*cos^2(2x)*(cos(2x))'=3*sin^2(x)*cos(x)+3*cos^2(2x)*(-sin(2x))*(2x)'=3*sin^2(x)*cos(x)-6*cos^2(2x)*sin(2x)

Answer 2

Для нахождения производной сложной функции $y = (\sin^3x + \cos^3(2x))$ по переменной $x$ вам понадобятся два факта:

1. Производная $\frac{{d}}{{dx}}(\sin x) = \cos x$
2. Производная $\frac{{d}}{{dx}}(\cos x) = -\sin x$

Теперь приступим к решению:

Для удобства, давайте обозначим две функции:

$u = \sin^3 x$ и $v = \cos^3(2x)$.

Используя правило для производной сложной функции, производная сложной функции $y$ будет равна:

$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{du}}{{dx}} + \frac{{dv}}{{dx}}$.

Теперь найдем производные $u$ и $v$:

1. Найдем $\frac{{du}}{{dx}}$:

Для этого используем правило цепочки (chain rule):

$\frac{{du}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}(\sin^3 x) = 3\sin^2 x \cdot \frac{{d}}{{dx}}(\sin x) = 3\sin^2 x \cdot \cos x$.

2. Найдем $\frac{{dv}}{{dx}}$:

Используем правило цепочки (chain rule) и учитываем, что $\frac{{d}}{{dx}}(\cos(2x)) = -2\sin(2x)$:

$\frac{{dv}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}(\cos^3(2x)) = 3\cos^2(2x) \cdot \frac{{d}}{{dx}}(\cos(2x)) = -6\cos^2(2x) \cdot \sin(2x)$.

Теперь объединим результаты, чтобы найти производную $y$ по $x$:

$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{du}}{{dx}} + \frac{{dv}}{{dx}} = 3\sin^2 x \cdot \cos x - 6\cos^2(2x) \cdot \sin(2x)$.

И это будет окончательным ответом. Если необходимо упростить дальше или выразить в другом виде, вам нужно будет провести дополнительные преобразования, исходя из ваших требований.