Question

Помогите решить уравнения: 1) Cos(п/2+2x)=корень из 2 sin x (нужно найти все корни уровнения принадлежащие промежутку (-5П; -4П)) 2) sin(x/2)cos(x/2) >=1/4 (Найти наименьшее положительное значение)

Answer 1

(5п-4п)=1п

sin(x/2)cos(2/x)>=2/8

Answer 2

Давайте решим уравнения по порядку:

1. Решение уравнения Cos(π/2 + 2x) = √2 sin(x) в промежутке (-5π, -4π):

Для начала, заметим, что Cos(π/2 + 2x) = -sin(2x), так как Cos(π/2) = 0 и Cos(2x) = 2Cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x), и поэтому -sin(2x) = -2sin(x)cos(x).

Теперь наше уравнение примет вид: -2sin(x)cos(x) = √2sin(x).

Рассмотрим два случая:

a) sin(x) = 0:

Если sin(x) = 0, то наше уравнение превращается в -2sin(x)cos(x) = 0. В этом случае решениями будут все значения x, для которых sin(x) = 0. То есть x = -π, 0, π.

b) sin(x) ≠ 0:

В этом случае уравнение может быть переписано как -2cos(x) = √2, что приводит к cos(x) = -√2/2.

Значения cos(x) равны -√2/2 при x = 3π/4 и x = 5π/4 (это получается из графика косинуса или из таблицы значений).

Таким образом, решениями уравнения в промежутке (-5π, -4π) будут x = -π, 0, π, 3π/4 и 5π/4.

2. Решение неравенства sin(x/2)cos(x/2) ≥ 1/4:

Для упрощения неравенства, заменим sin(x/2)cos(x/2) на sin(2x)/2, так как sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

Теперь у нас есть неравенство sin(2x)/2 ≥ 1/4.

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

sin(2x) ≥ 1/2.

Рассмотрим график функции y = sin(2x):

vbnetCopy code
     1 |        . '
       |      '   .
     0.5 |   '       .
       | '           .
       |______________.______
                     π/4    3π/4

На графике видно, что sin(2x) принимает значения от -1 до 1. Для того чтобы найти наименьшее положительное значение sin(2x), нам нужно найти точку пересечения графика с y = 1/2 на промежутке [0, π/2].

Приближенно, sin(2x) = 1/2 при x ≈ π/6.

Таким образом, наименьшее положительное значение x, удовлетворяющее неравенству, будет x ≈ π/6.