Question

F(x)=x³-2x²-4x 1)найти стационарные точки функции 2)найти интервалы возрастания и убывания функции 3)найти экстремумы функции 4) найти наибольшее и наименьшее значение f(x) на отрезке [0;3]

Answer 1

1) x³-2x²-4x=0   x(x²-2x-4)=0  x₁,₂=(2±√(4+16))/2=(2±3√2)/2   x₁=(2+3√2)/2   x₂=(2-3√2)/2

2) y'=3x²-4x-4   3x²-4x-4=0  x₁,₂=(4±√(16+48))/6   x₁=2  x₂=-2/3  при x<(-2/3) и x>2 y'>0⇒функция возрастает, при (-3/2)<x<2 y'<0⇒ функция убывает

3)x=(-2/3)-max, y max=48/27. x=2-min, y min=-8

4) y(0)=0, y(3)=-3, y(2)=-8⇒ y max=0, y min=-8

Answer 2

Для решения данной задачи, нам понадобится производная функции F(x) и её значения на границах отрезка [0; 3].

1. Найдем производную функции F(x): F'(x) = d/dx (x³ - 2x² - 4x) F'(x) = 3x² - 4x - 4

2. Найдем стационарные точки функции F(x), это точки, где производная равна нулю: 3x² - 4x - 4 = 0

Для решения этого квадратного уравнения, воспользуемся квадратным уравнением: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

a = 3, b = -4, c = -4

x = (4 ± √((-4)² - 4 * 3 * (-4))) / 2 * 3 x = (4 ± √(16 + 48)) / 6 x = (4 ± √64) / 6 x = (4 ± 8) / 6

Таким образом, получаем две стационарные точки: a) x₁ = (4 + 8) / 6 = 2 b) x₂ = (4 - 8) / 6 = -4/6 = -2/3 ≈ -0.67

3. Найдем интервалы возрастания и убывания функции F(x). Для этого проанализируем знак производной F'(x) на различных участках числовой прямой.

Составим таблицу знаков производной F'(x):

markdownCopy code
x         | -∞      | -2/3    | 2       | +∞
----------------------------------------------
F'(x)     |         |         |         |
----------------------------------------------

Для x < -2/3: Подставим x = -1 в производную F'(x): F'(-1) = 3 * (-1)² - 4 * (-1) - 4 = 3 + 4 - 4 = 3 > 0 На интервале (-∞, -2/3) производная положительна, значит функция возрастает на этом интервале.

Для -2/3 < x < 2: Подставим x = 0 в производную F'(x): F'(0) = 3 * 0² - 4 * 0 - 4 = -4 < 0 На интервале (-2/3, 2) производная отрицательна, значит функция убывает на этом интервале.

Для x > 2: Подставим x = 3 в производную F'(x): F'(3) = 3 * 3² - 4 * 3 - 4 = 27 - 12 - 4 = 11 > 0 На интервале (2, +∞) производная положительна, значит функция возрастает на этом интервале.

4. Найдем экстремумы функции, то есть значения функции в стационарных точках. Для этого подставим найденные x₁ и x₂ в исходную функцию F(x): F(2) = 2³ - 2 * 2² - 4 * 2 = 8 - 8 - 8 = -8 F(-2/3) = (-2/3)³ - 2 * (-2/3)² - 4 * (-2/3) ≈ -0.30

Таким образом, функция имеет два экстремума: a) Минимум: (-2/3, -0.30) b) Максимум: (2, -8)

5. Найдем наибольшее и наименьшее значение F(x) на отрезке [0; 3], включая границы этого отрезка. Для этого найдем значения функции F(x) на границах и в найденных стационарных точках:

F(0) = 0³ - 2 * 0² - 4 * 0 = 0 F(3) = 3³ - 2 * 3² - 4 * 3 = 27 - 18 - 12 = -3

Сравним найденные значения: Наибольшее значение F(x) на отрезке [0; 3]: F(0) = 0 Наименьшее значение F(x) на отрезке [0; 3]: F(2) = -8