Question

Найти первообразную F(x) функции f(x)=x^5-6x^2+3 ,график которой проходит через точку (-1, 2) Помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

F(x)=∫(x⁵-6x²+3)dx=(x⁶/6)-2x³+3x+c

F(x)=(x⁶/6)-2x³+3x+c (1)

подставим координаты точки (-1, 2) в выражение 1 и найдем с

1/6+2-3+c=2

-2 5/6+c=2

c=2+2 5/6

c=4 5/6 (4 целых 5/6x ) подставим значение с в выражение (1)

F(x)=(x⁶/6)-2x³+3x+4 5/6 - искомая первообразная

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $F(x)$ для $f(x) = x^5 - 6x^2 + 3$, мы будем интегрировать функцию $f(x)$. Первообразная функция $F(x)$ будет удовлетворять условию $F'(x) = f(x)$.

Интегрируем каждый член функции $f(x)$ по отдельности:

$\int x^5 \,dx = \frac{1}{6}x^6 + C_1,$ $\int 6x^2 \,dx = 2x^3 + C_2,$ $\int 3 \,dx = 3x + C_3,$

где $C_1, C_2, C_3$ - произвольные постоянные интегрирования.

Теперь соберем все вместе:

$F(x) = \frac{1}{6}x^6 + 2x^3 + 3x + C,$

где $C$ - общая постоянная интегрирования.

Теперь для определения значения $C$ воспользуемся условием, что график функции проходит через точку $(-1, 2)$. Подставим $x = -1$ и $F(-1) = 2$:

$2 = \frac{1}{6}(-1)^6 + 2(-1)^3 + 3(-1) + C.$

Упростим выражение:

$2 = \frac{1}{6} + (-2) - 3 + C,$

$2 = -\frac{16}{6} + C,$

$C = 2 + \frac{16}{6},$

$C = \frac{20}{6},$

$C = \frac{10}{3}.$

Итак, окончательно первообразная функция $F(x)$ будет:

$F(x) = \frac{1}{6}x^6 + 2x^3 + 3x + \frac{10}{3}.$

Таким образом, это уравнение представляет собой первообразную функции $f(x)$, которая проходит через точку $(-1, 2)$.