Question

Внутрь правильного треугольника наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри треугольника, вершины которого являются серединами сторон исходного треугольника.

Answer 1

Поскольку площадь треугольника с вершинами в серединах исходного треугольника в 4 раза меньше площади исходного треугольника, то соответствующая вероятность равна 1/4.

Иэто верно для любого треугольника, не только для правильного.

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется геометрическое рассмотрение. Пусть у нас есть исходный правильный треугольник ABC. Поскольку точка бросается наудачу внутри треугольника ABC, вероятность того, что она окажется внутри другого треугольника, равно отношению площадей внутреннего треугольника к площади исходного треугольника.

Чтобы рассмотреть внутренний треугольник, построим треугольник DEF, где D - середина AB, E - середина BC, а F - середина AC.

Таким образом, получаем четыре треугольника: ABC - исходный треугольник, DEF - внутренний треугольник, и два треугольника ADE и BCF.

Для нахождения вероятности попадания точки внутри DEF, нам нужно найти отношение площади DEF к площади ABC.

Площадь любого треугольника можно вычислить, зная длины его сторон, используя формулу Герона: $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

где S - площадь треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника, p - полупериметр (p = (a + b + c) / 2).

Поскольку ABC - правильный треугольник, его стороны равны: $a = b = c = s$, где s - длина стороны треугольника.

Таким образом, площадь ABC будет: $S_{ABC} = \sqrt{s(s - s)(s - s)(s - s)} = \sqrt{s^4} = s^2$

Поскольку DEF - медианный треугольник, его стороны равны половине сторон ABC, то есть $a = b = c = \frac{s}{2}$.

Теперь найдем площадь DEF: $S_{DEF} = \sqrt{\frac{s}{2}\left(\frac{s}{2} - \frac{s}{2}\right)\left(\frac{s}{2} - \frac{s}{2}\right)\left(\frac{s}{2} - \frac{s}{2}\right)} = \sqrt{\frac{s^4}{16}} = \frac{s^2}{4}$

Таким образом, вероятность попадания точки внутри DEF равна отношению площади DEF к площади ABC: $P = \frac{S_{DEF}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{s^2}{4}}{s^2} = \frac{1}{4}$

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка внутри правильного треугольника окажется внутри треугольника, вершинами которого являются середины сторон исходного треугольника, равна $\frac{1}{4}$ или 25%.