Question

На доске написаны натуральные числа от 1 до 500(включительно). Вася и Петя по очереди (начинает Вася) стирают по одному числу, пока не останется 2 числа. Если сумма этих двух чисел делится на 3 без остатка, выигрывает Вася, в противном случае- Петя. Кто выиграет при правильной игре?​

Answer 1

1)499+500=999 - сумма двух последних чисел

2)999:3=333

Ответ: выйграл Вася

Answer 2

Давайте проанализируем ситуацию. Если сумма двух чисел делится на 3 без остатка, Выигрывает Вася, иначе - Петя.

На доске 500 чисел, и у Васи есть первый ход. Поскольку Вася и Петя играют "правильно" и стараются выиграть, будем считать, что они оба выбирают наиболее оптимальные ходы.

Изначально, сумма всех чисел от 1 до 500 равна: S = 1 + 2 + 3 + ... + 499 + 500

Для нахождения этой суммы, можно воспользоваться формулой для суммы арифметической прогрессии:

S = (n * (a1 + an)) / 2

где n - количество членов прогрессии, a1 - первый член прогрессии (в нашем случае 1), an - последний член прогрессии (в нашем случае 500).

Таким образом, S = (500 * (1 + 500)) / 2 = 250500.

После первого хода у Васи останется (500 - 1) чисел, и сумма всех чисел теперь будет:

S' = 1 + 2 + 3 + ... + 499 = (499 * (1 + 499)) / 2 = 124,750.

Теперь у Пети есть ход. Он может стереть одно из оставшихся чисел, но что бы ни выбрал Петя, сумма оставшихся чисел не делится на 3 без остатка. Почему? Потому что если бы сумма всех чисел до 500 делилась на 3 без остатка, то разница между S и S' (т.е., число, которое стер Вася) тоже делилась бы на 3 без остатка, но это не так, и следовательно, разница не делится на 3 без остатка.

Теперь, когда у Пети остается 498 чисел (число чисел на доске четное), он не может выбрать такое число, которое сделает сумму оставшихся чисел делимой на 3 без остатка.

Поэтому Петя не сможет изменить ситуацию, и в конечном итоге у Васи всегда будет возможность выбрать такое число на своем ходу, чтобы сумма оставшихся чисел делилась на 3 без остатка. Следовательно, при правильной игре Вася всегда выигрывает.