Question

На доске написаны все натуральные числа от 1 до 14, каждое — по одному разу. Петя и Вася по очереди стирают по одному числу, пока не останется два числа. Если сумма этих чисел оказывается точным квадратом, выигрывает Вася. В противном случае выигрывает Петя. Начинает Петя. Выберите верные утверждения: 1 Вася вообще не может выиграть 2 Петя может гарантировать себе победу 3 Вася может гарантировать себе победу 4 Если первый Петин ход — нечётное число, то Вася, стерев сразу после этого нечётное число, не сможет затем гарантировать себе победу 5 Если первый Петин ход — составное число, то Вася, стерев сразу после этого составное число, не сможет затем гарантировать себе победу

Answer 1

Ответ:

Если начнут стирать с 1 , то останутся : 8; 9.

8+9=17.

17:3= 5 (6).

Значит, выйграл Вася.

Если начнут с конца, то останутся: 1; 2.

1+2=3.

3:3=1.

То выйграл Петя.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте проанализируем возможные ходы Пети и Васи:

1. Возьмем случай, когда Петя начинает с нечетного числа. После его хода на доске остаются только четные числа (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14). Все четные числа делятся на 2, поэтому их сумма также будет четным числом. Квадрат четного числа тоже четен. Значит, после хода Пети останутся два четных числа, сумма которых будет четным квадратом, а это значит, что Вася может выиграть. Таким образом, утверждение 1 неверно.

2. Если Петя стартует с четного числа, то после его хода остаются только нечетные числа. Сумма двух нечетных чисел всегда является четным числом, но квадрат четного числа не является нечетным. Значит, после хода Пети останутся два нечетных числа, сумма которых не является квадратом, и это означает, что Петя может гарантировать себе победу. Таким образом, утверждение 2 верно.

3. Поскольку Петя может гарантировать себе победу (утверждение 2), Вася не может гарантировать себе победу. Это означает, что утверждение 3 неверно.

4. Если Петя начинает с нечетного числа и Вася стирает сразу после него нечетное число, то на доске останутся только четные числа. Как было объяснено в пункте 1, Вася сможет гарантировать себе победу. Это значит, что утверждение 4 неверно.

5. Если Петя начинает с составного числа, то после его хода остаются только простые числа. Например, если Петя стирает число 6, то останутся числа (1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14). В этом случае, Вася может следующим ходом стереть число 13, и на доске останутся числа (1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14), сумма которых равна 96, что не является квадратом. Это означает, что Вася не сможет гарантировать себе победу в этом случае. Таким образом, утверждение 5 неверно.

Итак, верные утверждения: 2. Петя может гарантировать себе победу.