Question

На столе лежат палочки длиной 1 см, 2 см, ..., 100 см. Петя и Вася играют в игру. Они по очереди убирают со стола палочки: Петя одну, а Вася две, пока не останутся 3 палочки. Если из них можно сложить треугольник, то выигрывает Петя, в противном случае выигрывает Вася. Начинает Петя. Кто выиграет при правильной игре?

Answer 1

Пусть первыми 32-мя своими ходами Петя уберёт 32 палочки размера от 1 до 32 (если все палочки от 1 до 32 окажутся убраны до завершения 32-ого хода, то пусть Петя делает случайные ходы). После 32-ух ходов на столе останутся четыре палочки, длина самой короткой из которых не менее 33. Пусть треугольник составить невозможно. Тогда длина самой короткой палочки не менее 33, третьей по длине - не менее 34, второй - не менее 67 (сумма 33 и 34) и самой длинной - не менее 101 (сумма 34 и 67). Но самая длинная палочка не длиннее 100. Противоречие. Значит, треугольник составить возможно. Тогда последним ходом Петя убирает палочку, которая не используется в составленном треугольнике и побеждает.

Ответ: Победит Петя.

Answer 2

Давайте рассмотрим эту игру и определим стратегии для Пети и Васи.

Количество палочек на столе: 1, 2, 3, ..., 100.

Итак, чтобы выиграть, Петя должен оставить на столе три палочки, которые можно сложить в треугольник. Мы знаем, что для образования треугольника сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

Давайте рассмотрим некоторые примеры:

1. 1, 2, 3 - нельзя сложить треугольник, так как 1 + 2 = 3.
2. 1, 2, 4 - нельзя сложить треугольник, так как 1 + 2 = 3.
3. 1, 2, 5 - можно сложить треугольник, так как 1 + 2 > 5.

Мы видим, что чтобы оставить треугольник на столе, Пете нужно оставить две палочки суммарной длиной больше третьей палочки. Таким образом, у Пети должна остаться палочка длиной 98 см и палочка длиной 2 см (98 + 2 > 100). Тогда при правильной игре Пети он всегда оставит такую ситуацию.

При начальном состоянии с палочками длиной 1 см, 2 см, ..., 100 см, Петя должен взять палочку длиной 100 см. Независимо от того, что сделает Вася, Петя всегда будет брать палочку так, чтобы оставить на столе палочку длиной 98 см и палочку длиной 2 см. Таким образом, он всегда выигрывает, оставляя палочки, которые можно сложить в треугольник.

Итак, Петя выиграет при правильной игре.