Question

Найти производную сложной функции f(x)=3/(4-5x)^6

Answer 1

$f(x)=\frac{3}{(4-5x)^6}\; \; ,\qquad (\frac{C}{u})'=-\frac{C\cdot u'}{u^2}\; \; ,\; \; C=const\\\\f'(x)=-\frac{3\cdot 6(4-5x)^5\cdot (-5)}{(4-5x)^{12}}=\frac{90}{(4-5x)^7}$

Answer 2

Для нахождения производной сложной функции f(x) = 3/(4 - 5x)^6 воспользуемся правилом цепочки (chain rule). Правило цепочки гласит, что если у нас есть функции g(x) и h(x), и f(x) = g(h(x)), то производная f'(x) вычисляется как произведение производной внешней функции g'(h(x)) и производной внутренней функции h'(x).

Давайте найдем производные пошагово:

1. Внутренняя функция: h(x) = 4 - 5x
2. Производная внутренней функции: h'(x) = d/dx(4 - 5x) = -5 (производная константы равна 0, производная x равна 1)
3. Внешняя функция: g(x) = 3/u^6, где u = 4 - 5x
4. Производная внешней функции: g'(u) = d/du(3/u^6) = -18/u^7 (используем степенное правило производной)
5. Подставляем u = 4 - 5x в g'(u): g'(4 - 5x) = -18/(4 - 5x)^7

Теперь, используем правило цепочки, чтобы найти производную f'(x):

f'(x) = g'(h(x)) * h'(x) = -18/(4 - 5x)^7 * (-5)

Таким образом, производная функции f(x) равна:

f'(x) = 90/(4 - 5x)^7.