Question

Интеграл от 0 до бесконечности xcosx

Answer 1

$=(x\sin x+\cos x)|_0^{+\infty}$

расходится.

Answer 2

Для вычисления данного интеграла:

∫₀^∞ x * cos(x) dx

можно использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям:

∫ u dv = uv - ∫ v du

где u и v - функции от переменной x, а du и dv - их дифференциалы.

Для этого интеграла, выберем:

u = x -> du = dx dv = cos(x) -> v = sin(x)

Применяем формулу интегрирования по частям:

∫₀^∞ x * cos(x) dx = x * sin(x) ∣₀^∞ - ∫₀^∞ sin(x) dx

Теперь рассмотрим каждый из частей:

1. x * sin(x) ∣₀^∞:

При подстановке бесконечности (x -> ∞), sin(x) будет ограниченным значением, т.к. sin(∞) не существует и колеблется между -1 и 1. При подстановке 0 (x -> 0), sin(0) = 0.

Поэтому x * sin(x) при x -> ∞ имеет неопределенную форму ∞ * (ограниченное значение), что дает неопределенность ∞ * 0. Это индетерминированная форма, которая требует дополнительного анализа.

2. ∫₀^∞ sin(x) dx:

Этот интеграл сходится, так как sin(x) ограничен и периодичен, его интеграл будет сходиться к определенному значению.

Теперь разберемся с частью x * sin(x) при x -> ∞. Для этого воспользуемся правилом Лопиталя (L'Hôpital's rule). Правило Лопиталя применяется для нахождения пределов неопределенностей вида ∞ * 0.

Правило Лопиталя для функции f(x)/g(x) при x -> ∞:

Если предел от f(x)/g(x) при x -> ∞ принимает форму ∞/∞ или 0/0, то предел от f(x)/g(x) равен пределу производных f'(x)/g'(x), при условии, что предел производных существует.

Применим правило Лопиталя к x * sin(x) при x -> ∞:

lim (x -> ∞) [x * sin(x)] = lim (x -> ∞) [d/dx(x)/d/dx(sin(x))] = lim (x -> ∞) [1 * cos(x)] = lim (x -> ∞) cos(x)

Так как предел cos(x) при x -> ∞ не существует (колеблется между -1 и 1), предел x * sin(x) при x -> ∞ остается неопределенным.

В результате, интеграл ∫₀^∞ x * cos(x) dx сходится, но его значение остается неопределенным, и требует дополнительного анализа для получения конкретного числового результата.