Question

Вычислить площадь, ограниченную линиями: y=x^2+4x, y=x+4 Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболами y=x^2, y=x^1/2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для первой задачи нам нужно найти точки пересечения линий y = x^2 + 4x и y = x + 4, чтобы определить границы интегрирования по оси x. Затем мы вычислим площадь между этими кривыми.

1. Найдем точки пересечения: Из условия y = x^2 + 4x и y = x + 4: x^2 + 4x = x + 4 x^2 + 3x - 4 = 0

Решим квадратное уравнение: x = (-3 ± √(3^2 - 4*(-4))) / 2 x = (-3 ± √(9 + 16)) / 2 x = (-3 ± √25) / 2 x1 = (-3 + 5) / 2 = 1 x2 = (-3 - 5) / 2 = -4

Таким образом, точки пересечения кривых x^2 + 4x и x + 4: x = 1 и x = -4.

2. Вычислим площадь между кривыми от x = -4 до x = 1: Площадь между двумя кривыми можно найти по следующему интегралу: S = ∫(от -4 до 1) (x^2 + 4x) - (x + 4) dx

Вычислим интеграл: S = ∫(от -4 до 1) (x^2 + 4x - x - 4) dx S = ∫(от -4 до 1) (x^2 + 3x - 4) dx

S = (x^3/3 + (3x^2)/2 - 4x) |(от -4 до 1) S = [(1^3/3 + (31^2)/2 - 41) - ((-4)^3/3 + (3*(-4)^2)/2 - 4*(-4))]

S = [(1/3 + 3/2 - 4) - (64/3 + 3*8/2 + 16)] S = [-7 - (64/3 + 12 + 16)] S = [-7 - (64/3 + 28)] S = [-7 - (136/3)] S = [-7 - 45.33] S ≈ -52.33 (квадратные единицы)

Ответ: Площадь, ограниченная линиями y = x^2 + 4x и y = x + 4, примерно равна -52.33 квадратных единиц.

Теперь перейдем ко второй задаче - вычислению объема тела, образованного вращением фигуры между параболами y = x^2 и y = x^(1/2) вокруг оси Ox.

Для нахождения объема, используем метод цилиндрических оболочек. Этот метод предполагает вращение малого вертикального полосного элемента фигуры вокруг оси и вычисление объема каждой оболочки.

Объем элементарной оболочки dV можно найти как произведение высоты полосы (разницы между двумя кривыми) на длину окружности на данной высоте.

1. Найдем точки пересечения парабол y = x^2 и y = x^(1/2): x^2 = x^(1/2) x^(3/2) = 1 x = 1 (так как x не может быть отрицательным для нашей области)

2. Вычислим объем: Объем V можно найти как интеграл от 0 до 1 объема dV: V = ∫(от 0 до 1) π((x^2)^2 - (x^(1/2))^2) dx V = ∫(от 0 до 1) π(x^4 - x) dx

Вычислим интеграл: V = π(x^5/5 - x^2/2) |(от 0 до 1) V = π((1^5/5 - 1^2/2) - (0^5/5 - 0^2/2)) V = π(1/5 - 1/2) V = π(-3/10)

Ответ: Объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной параболами y = x^2 и y = x^(1/2) вокруг оси Ox, равен -(3π/10) кубических единиц (отрицательный знак указывает на то, что фигура находится ниже оси Ox).