Question

Найти производную функции y=sinx*cosx*ctgx*x

Answer 1

y = sinx·cosx·ctgx·x

Поскольку sinx·ctgx = cosx, то иммем:

y = cosx·cosx·x =  cos²x·x

y' = (cos²x·x)' = (cos²x)'·x + cos²x·(x)' = 2cosx·(-sinx)·x + cos²x = -2x·sin(2x) + cos²x

Answer 2

Для нахождения производной функции y = sin(x) * cos(x) * ctg(x) * x, воспользуемся правилом производной произведения:

Если u(x) = sin(x) * cos(x) * ctg(x) и v(x) = x, то производная функции y по x будет равна произведению производной u(x) и v(x) плюс произведение u(x) и производной v(x).

1. Найдем производную u(x): u(x) = sin(x) * cos(x) * ctg(x) Применим правило производной произведения: u'(x) = (cos(x) * cos(x) * ctg(x)) + (sin(x) * (-sin(x)) * ctg(x)) + (sin(x) * cos(x) * (-csc^2(x))) u'(x) = cos^2(x) * ctg(x) - sin^2(x) * ctg(x) - sin(x) * cos(x) * csc^2(x)

2. Найдем производную v(x): v(x) = x v'(x) = 1

Теперь, найдем производную y(x): y'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x) y'(x) = (cos^2(x) * ctg(x) - sin^2(x) * ctg(x) - sin(x) * cos(x) * csc^2(x)) * x + (sin(x) * cos(x) * ctg(x)) * 1

Таким образом, производная функции y по x будет: y'(x) = x * (cos^2(x) * ctg(x) - sin^2(x) * ctg(x) - sin(x) * cos(x) * csc^2(x)) + sin(x) * cos(x) * ctg(x)

Итоговая производная: y'(x) = x * (cos^2(x) * ctg(x) - sin^2(x) * ctg(x) - sin(x) * cos(x) * csc^2(x)) + sin(x) * cos(x) * ctg(x)