Question

Определите современное значение восьмилетней ренты, состоящей из годовых выплат в начале каждого года по 20 тыс. р., если сложные проценты по ставке 14 % годовых начисляют каждое полугодие.

Answer 1

Ответ: 71375 рублей.

Пошаговое объяснение:

Сложная процентная ставка: $S=P(1+i)^{nm}$

где n – число лет; m – число периодов начисления процентов в течение года

$S_1=20 000\cdot (1+0.14)^\big{\frac{7}{2}}=20000\cdot 1.14^{3.5}\approx 31637$ руб

$S_2=20000\cdot (1+0.14)^\big{\frac{6}{2}}=20000\cdot 1.14^{3}\approx29631$ руб

$S_3=20000\cdot (1+0.14)^\big{\frac{5}{2}}=20000\cdot 1.14^{2.5}\approx 27752$ руб

$S_4=20000\cdot (1+0.14)^\big{\frac{4}{2}}=20000\cdot 1.14^2=25992$ руб

$S_5=20000\cdot (1+0.14)^\big{\frac{3}{2}}=20000\cdot 1.14^{1.5}\approx 24344$ руб

$S_6=20000\cdot (1+0.14)^\big{\frac{2}{2}}=20000\cdot 1.14=22800$ руб

$S_7=20000\cdot (1+0.14)^\big{\frac{1}{2}}=20000\cdot 1.14^{0.5}\approx 21448$ руб

$S_8=20000\cdot (1+0.14)^\big{\frac{0}{2}}=20000$ руб

Наращенная сумма в конец срока:

$S=\displaystyle \sum^{8}_{i=1}S_i=203604$  рублей

Современное значение восьмилетней ренты:

$S_0=\dfrac{203604}{(1+0.14)^8}=71375$ рублей

Answer 2

Для определения современного значения восьмилетней ренты, мы можем использовать формулу для расчета сложных процентов на основе годовых выплат (аннуитета):

$PV = P\left(\frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}\right),$

где: $PV$ - современное значение (Present Value) или текущая стоимость ренты, $P$ - размер годовой выплаты (в данном случае 20 тыс. руб.), $r$ - годовая процентная ставка в десятичной форме (в данном случае $\frac{14}{100} = 0.14$), $n$ - количество периодов (в данном случае 8 лет или 16 полугодий, так как начисление происходит каждое полугодие).

Подставляя значения в формулу, получим:

$PV = 20000\left(\frac{1 - (1 + 0.14)^{-16}}{0.14}\right).$

Теперь вычислим:

$PV = 20000\left(\frac{1 - 0.114216767212594}{0.14}\right) \approx 20000\left(\frac{0.885783232787406}{0.14}\right) \approx 20000 \times 6.32630951991004 \approx 126,526.19$

Таким образом, современное значение восьмилетней ренты составляет около 126,526.19 тыс. рублей.