Question

Пожалуйста помогите Каноническое уравнение гиперболы k=3/4, эксцентриситет=5/4

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Каноническое уравнение гиперболы:

х²/а²-у²/b²=1

к=b/a=3/4

E=c/a=5/4

a=4,b=3,c=5

Каноническое уравнение будет

х²/4²-у²/3²=1

х²/16-у²/9=1

Answer 2

Каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат имеет следующий вид:

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,$

где $a$ и $b$ - это полуоси гиперболы, а $k$ - расстояние от фокусов до центра гиперболы.

Эксцентриситет гиперболы $e$ связан с $k$ и $a$ следующим образом:

$e = \frac{c}{a},$

где $c$ - расстояние от центра гиперболы до фокусов.

Мы знаем, что $k = \frac{3}{4}$ и $e = \frac{5}{4}$. Таким образом, для нахождения $a$ и $b$, нам нужно сначала найти $c$.

Для этого, используем формулу:

$e = \frac{c}{a} \Rightarrow c = e \cdot a.$

Подставим данные:

$\frac{5}{4} = \frac{c}{a}.$

Теперь, чтобы найти $a$ и $b$, мы также должны использовать информацию о $k$:

$k = \frac{3}{4} = \frac{2a}{b}.$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} \frac{5}{4} = \frac{c}{a} \\[6pt] \frac{3}{4} = \frac{2a}{b} \end{cases}$

Решим систему:

\begin{align*} \frac{5}{4} &= \frac{c}{a} \Rightarrow c = \frac{5}{4}a \\[6pt] \frac{3}{4} &= \frac{2a}{b} \Rightarrow b = \frac{8}{3}a \end{align*}

Теперь у нас есть выражения для $c$ и $b$ через $a$. Для простоты, давайте возьмем $a = 4$, так что:

$c = \frac{5}{4} \cdot 4 = 5,$ $b = \frac{8}{3} \cdot 4 = \frac{32}{3}.$

Теперь мы можем записать каноническое уравнение гиперболы:

$\frac{x^2}{4^2} - \frac{y^2}{\left(\frac{32}{3}\right)^2} = 1.$

Это уравнение гиперболы с заданным центром, эксцентриситетом и полуосями $a$ и $b$.