Question

«Решение задач по аналитической геометрии» 1.Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, уравнение директрисы x+3=0. 2.Составить каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси Оу, если действительная ось равна 4√5, а эксцентриситет Ɛ=√5/2. 3.Составьте уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, Ɛ=0,6 и 2а = 10.

Answer 1

1) Если параболы имеет вершину в начале координат, то каноническое уравнение параболы имеет вид у² = 2рх.

А уравнение директрисы х + (р/2) = 0.

По заданию уравнение директрисы x+3=0 или х + (6/2) = 0.

Значит, параметр р = 6.

Уравнение параболы у² = 2*6х или у² = 12х.

2) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид (x²/a²) - (y²/b²) = 1.

Но у неё действительная ось на оси Ох.+

Для гиперболы с действительной осью на оси Оу уравнение имеет вид -(x²/a²) + (y²/b²) = 1.

По заданию b = 4√5/2 = 2√5.

е = с/b.

Тогда c = e*b=(√5/2)*2√5 = 5.

a² = c² - b² = 25 - 20 = 5.

Уравнение гиперболы -(x²/(√5)²) + (y²/(2√5)²) = 1.

3) а = 10/2 = 5.

   с = е*а = 0,6*5 = 3.

b² = a² - c² = 25 -9 = 16 = 4².

Уравнение эллипса  (x²/5²) + (y²/4²) = 1.

Answer 2

1. Уравнение параболы с вершиной в начале координат и уравнением директрисы x + 3 = 0 имеет вид: Уравнение директрисы: x + 3 = 0 Уравнение параболы: y^2 = 4px

   Так как директриса вертикальная и парабола симметрична относительно оси x, вершина параболы будет на оси y.

   Координаты фокуса (p, 0) можно найти как перпендикулярный отрезок от начала координат до директрисы. Так как директриса находится выше начала координат, p будет отрицательным, и равен -3.

   Уравнение параболы: y^2 = -12x

2. Каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси Oy, действительной осью 4√5 и эксцентриситетом Ɛ = √5/2 имеет следующий вид: Уравнение фокусной характеристики: c = √(a^2 + b^2), где c - расстояние от центра до фокуса, a - полуось, b - полуось.

   По заданным данным: c = 4√5 Так как эксцентриситет Ɛ = √5/2, то Ɛ^2 = 5/4.

   Используя связь между эксцентриситетом и полуосями: Ɛ^2 = 1 + (b^2 / a^2), мы можем решить уравнение относительно b^2 / a^2: 5/4 = 1 + b^2 / a^2 b^2 / a^2 = 1/4

   Теперь, так как фокусы находятся на оси Oy, мы имеем уравнение гиперболы: y^2 / a^2 - x^2 / b^2 = 1

   Подставляя b^2 / a^2 = 1/4: y^2 / a^2 - x^2 / (1/4 * a^2) = 1 y^2 / a^2 - 4x^2 / a^2 = 1

   Умножая обе стороны на a^2: y^2 - 4x^2 = a^2

   Таким образом, каноническое уравнение гиперболы имеет вид: y^2 - 4x^2 = a^2.

3. Уравнение эллипса с фокусами на оси абсцисс, эксцентриситетом Ɛ = 0,6 и 2a = 10: Так как фокусы находятся на оси абсцисс, вершина эллипса будет находиться на оси y.

   Формула связи между эксцентриситетом и полуосями: Ɛ = c / a, где c - расстояние от центра до фокуса, a - полуось.

   По заданным данным: Ɛ = 0,6, 2a = 10 Так как Ɛ = c / a, то c = 0,6 * a.

   Также известно, что фокусное расстояние равно c = a * Ɛ / 2, следовательно: a * Ɛ / 2 = 0,6 * a Отсюда Ɛ / 2 = 0,6, и, соответственно, Ɛ = 1,2.

   Уравнение эллипса: x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1

   Подставляя Ɛ = 1,2 и a = 5: x^2 / 5^2 + y^2 / b^2 = 1 x^2 / 25 + y^2 / b^2 = 1

   Теперь, используя связь между эксцентриситетом и полуосями: Ɛ^2 = 1 - (b^2 / a^2), мы можем решить уравнение относительно b^2 / a^2: 1,2^2 = 1 - (b^2 / 5^2) 1,44 = 1 - (b^2 / 25) b^2 / 25 = 1 - 1,44 b^2 / 25 = -0,44

   Таким образом, уравнение эллипса имеет вид: x^2 / 25 - (44/25)y^2 = 1.