Question

Найти точки максимума x=x^4-8x^2

Answer 1

y = x^4 - 8x^2 ; D(y) = R

y' = 4x^3 - 16x

y' = 0

4x^3 - 16x = 0

4x(x^2 - 4) = 0

x = 0 ; x = 2 ; x = -2 : критические точки

4x(x^2 - 4) > 0

x € (-2 ; 0) U (2 ; + беск)

4x(x^2 - 4) < 0

x € (-беск. ; -2) U (0 ; 2)

x = -2 - точка минимума

x = 0 - точка максимума

x = 2 - точка минимума

Ответ : x = 0

Answer 2

Чтобы найти точки максимума функции, нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует, и проверить их на максимальность или минимальность с помощью второй производной.

1. Начнем с выражения функции: f(x) = x^4 - 8x^2

2. Найдем производную функции f(x) по x: f'(x) = d/dx (x^4 - 8x^2) = 4x^3 - 16x

3. Найдем значения x, при которых производная равна нулю: 4x^3 - 16x = 0

4. Факторизуем выражение: 4x(x^2 - 4) = 0

5. Найдем корни уравнения: a) 4x = 0 => x = 0 b) x^2 - 4 = 0 => x^2 = 4 => x = ±2

Теперь у нас есть три критических точки: x = 0, x = 2 и x = -2. Чтобы определить, являются ли они точками максимума, минимума или перегиба, нужно проанализировать вторую производную.

6. Найдем вторую производную функции f(x): f''(x) = d^2/dx^2 (x^4 - 8x^2) = d/dx (4x^3 - 16x) = 12x^2 - 16

7. Подставим найденные значения x во вторую производную: a) f''(0) = 12(0)^2 - 16 = -16 (меняет знак с "плюса" на "минус" => точка перегиба) b) f''(2) = 12(2)^2 - 16 = 44 (положительное значение => возможная точка минимума) c) f''(-2) = 12(-2)^2 - 16 = 44 (положительное значение => возможная точка минимума)

Таким образом, у нас есть точка перегиба в x = 0 и возможные точки минимума в x = 2 и x = -2. Чтобы окончательно определить, являются ли точки (2, f(2)) и (-2, f(-2)) точками максимума или минимума, нужно провести дополнительные исследования, например, анализировать поведение функции в окрестности этих точек.