Question

Найдите точку максимума функции y = (x-9)² * (x-6) + 3.

Answer 1

Если раскрыть скобки уравнения функции y = (x-9)² * (x-6) + 3, то получим уравнение кубической функции y = x³ - 24x³ + 189x - 483.

Производная этой функции равна:

y' = 3x² - 48x + 189 = 3( x² - 16x + 63).

Приравняем её нулю (достаточно выражение в скобках).

x² - 16x + 63 = 0.  Д = (-16)² - 4*63 = 256 - 252 = 4.

х1 = (16 - 2)/2 = 7 и х2 = (16 + 2)/2 = 9.

Определяем свойства полученных критических точек по знакам производной.

х = 6 7 8 9 10

y' = 9 0 -3 0 9 .

Как видим, максимум функции в точке х = 7 (переход с + на -).

Answer 2

Для найти точку максимума функции, мы должны найти значения x и y, где производная функции равна нулю, и проверить, является ли это точкой максимума или минимума, используя вторую производную.

Давайте найдем точку максимума для функции y = (x - 9)² * (x - 6) + 3:

Шаг 1: Найдем производную функции y по x: y = (x - 9)² * (x - 6) + 3

Используем правило производной для произведения функций:

dy/dx = d/dx[(x - 9)²] * (x - 6) + (x - 9)² * d/dx[(x - 6)]

Вычислим производные:

dy/dx = 2(x - 9) * (1) * (x - 6) + (x - 9)² * (1)

dy/dx = 2(x - 9)(x - 6) + (x - 9)²

Шаг 2: Найдем точки, где производная равна нулю: 2(x - 9)(x - 6) + (x - 9)² = 0

Теперь решим уравнение:

2(x - 9)(x - 6) + (x - 9)² = 0

Раскроем квадрат:

2(x - 9)(x - 6) + (x - 9)(x - 9) = 0

2(x - 9)(x - 6) + (x - 9)(x - 9) = 0

Распределение:

2(x² - 6x - 9x + 54) + (x² - 9x - 9x + 81) = 0

2(x² - 15x + 54) + (x² - 18x + 81) = 0

Раскроем скобки:

2x² - 30x + 108 + x² - 18x + 81 = 0

3x² - 48x + 189 = 0

Шаг 3: Решим уравнение квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

где a = 3, b = -48 и c = 189.

x = (48 ± √((-48)² - 4 * 3 * 189)) / 2 * 3

x = (48 ± √(2304 - 2268)) / 6

x = (48 ± √36) / 6

Теперь найдем два значения x:

1. x = (48 + 6) / 6 = 54 / 6 = 9
2. x = (48 - 6) / 6 = 42 / 6 = 7

Шаг 4: Теперь найдем соответствующие значения y, подставив найденные значения x в исходную функцию:

Для x = 9:

y = (9 - 9)² * (9 - 6) + 3 y = 0 * 3 + 3 y = 3

Для x = 7:

y = (7 - 9)² * (7 - 6) + 3 y = (-2)² * 1 + 3 y = 4 * 1 + 3 y = 4 + 3 y = 7

Шаг 5: Определим, являются ли точки максимумом или минимумом, используя вторую производную.

Найдем вторую производную функции y:

d²y/dx² = d/dx[2(x - 9)(x - 6) + (x - 9)²]

d²y/dx² = 2 * d/dx[(x - 9)(x - 6)] + d/dx[(x - 9)²]

d²y/dx² = 2 * [(x - 6) + (x - 9)] + 2(x - 9)

d²y/dx² = 2(x - 6 + x - 9) + 2(x - 9)

d²y/dx² = 2(2x - 15) + 2(x - 9)

d²y/dx² = 4x - 30 + 2x - 18

d²y/dx² = 6x - 48

Теперь подставим найденные значения x (9 и 7) во вторую производную:

Для x = 9:

d²y/dx² = 6 * 9 - 48 = 54 - 48 = 6 > 0

Для x = 7:

d²y/dx² = 6 * 7 - 48 = 42 - 48 = -6 < 0

Шаг 6: Анализ результатов:

Точка x = 9 даёт положительное значение второй производной, что означает, что это точка минимума функции.

Точка x = 7 даёт отрицательное значение второй производной, что означает, что это точка максимума функции.

Итак, точка максимума функции y = (x - 9)² * (x - 6) + 3 равна (7, 7).