Question

(x-2)sqrt(x+sqrt(x-4))=sqrt(x^2-x+4)

Answer 1

Ответ: x=4

Пошаговое объяснение:

x^2-x+4>0

D= 1-16<0

тк a=1>0 (парабола всегда положительна)

В силу положительности каждого из квадратных корней:

(x-2)>0

x>=2

Ещё одно выражение под корнем:

(x-4)>=0

x>=4

Тогда следует выполнение условия:

x+sqrt(x-4)>0 (неравенство строгое)

ОДЗ: x>=4

Поскольку : x+sqrt(x-4)>0 , то

x+sqrt(x-4) не равно 0.

Поэтому можно поделить на него обе части уравнения:

(x-2)= sqrt(x^2 -x+4)/sqrt(x+sqrt(x-4))

x^2-x+4= x^2-(x-4)

Поскольку x-4>=0 , то справедливо преобразование:

x^2-x+4=x^2-(sqrt(x-4))^2= (x+sqrt(x-4))*(x-sqrt(x-4))

Тогда после сокращения уравнение принимает вид:

x-2= sqrt(x -sqrt(x-4) )

Заметим , что тк x^2+x-4>0 и x+sqrt(x-4)>0 , то x-sqrt(x-4)>0.

Возводим уравнение в квадрат:

x^2-4x+4=x-sqrt(x-4)

x^2-5x+4=-sqrt(x-4)

В силу неотрицательности квадратного корня должно выполнятся неравенство:

x^2-5x+4<=0

По теореме Виета:

x1=1

x2=4

1<=x<=4

Согласно ОДЗ:

x>=4.

Но тогда единственный кандидат на корень уравнения x=4.

Подстановкой x=4 в уравнение легко убедится , что корень подходит.

Таким образом единственное решение x=4

Ответ: x=4

Answer 2

To solve the equation $(x-2)\sqrt{x+\sqrt{x-4}}=\sqrt{x^2-x+4}$, we can follow these steps:

Step 1: Simplify the equation Square both sides of the equation to eliminate the square roots: $(x-2)^2(x+\sqrt{x-4})=x^2-x+4$

Step 2: Expand and simplify Expand the left side of the equation using the binomial expansion formula $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$: $(x^2-4x+4)(x+\sqrt{x-4})=x^2-x+4$

Distribute the terms on the left side: $x^3+x^2\sqrt{x-4}-4x^2-4x+4\sqrt{x-4}=x^2-x+4$

Step 3: Collect like terms Rearrange the equation to group the terms with $\sqrt{x-4}$ together and the remaining terms together: $x^3-4x^2+x^2\sqrt{x-4}+4x\sqrt{x-4}-x+4-4\sqrt{x-4}=0$

Combine like terms: $x^3-3x^2+x^2\sqrt{x-4}+4x\sqrt{x-4}-x-4\sqrt{x-4}=0$

Step 4: Isolate the radical term Move the terms containing $\sqrt{x-4}$ to one side of the equation, and move the remaining terms to the other side: $x^2\sqrt{x-4}+4x\sqrt{x-4}-4\sqrt{x-4}=x^3-3x^2+x$

Factor out the common factor of $\sqrt{x-4}$: $\sqrt{x-4}(x^2+4x-4)-4\sqrt{x-4}=x^3-3x^2+x$

Step 5: Simplify and solve Factor the quadratic term $x^2+4x-4$ using the quadratic formula: $x^2+4x-4=0$