Question

Натуральные числа а, b таковы, что р = 8а + 19b - простое число. Докажите, что число n = ab - 7а - 18b + 1 не делится на р.​

Answer 1

Представим n  в следующем виде:

n=ab -8a-19b+1+a+b= a+b+ab+1-p

n= (a+1)*(b+1) -p

Предположим , что  (a+1)*(b+1)  делиться на p , тогда поскольку p простое , то на p делится одно из чисел : (a+1)  или  (b+1) ,  но   поскольку  числа       a , b натуральные , то   a+1 <8a+19b=p ;  b+1<8a+19b=p .

Понятно ,что меньшее число не может делиться на большее , поэтому мы пришли к противоречию: (a+1)*(b+1)   не делится на p.

Поскольку  -p делиться на p , а (a+1)*(b+1)  не делится на p , то из признака неделимости следует  что n не  делится  на p.

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства этого факта, мы можем воспользоваться методом доказательства от противного. Допустим, что число n делится на р, то есть n делится на 8a + 19b.

Поэтому, мы можем записать n в виде:

n = k(8a + 19b), где k - некоторое целое число.

Теперь давайте выразим n через a и b:

n = 8ak + 19bk

Также у нас есть выражение для n:

n = ab - 7a - 18b + 1

Теперь мы можем приравнять оба выражения для n:

ab - 7a - 18b + 1 = 8ak + 19bk

Распишем это уравнение:

ab - 8ak - 19bk - 7a - 18b = -1

Теперь давайте выразим a через b:

a(b - 8k - 7) = 19bk + 18b - 1

a = (19bk + 18b - 1) / (b - 8k - 7)

Таким образом, мы получили выражение для a через b и k.

Заметим, что числитель и знаменатель этой дроби положительны, так как a и b являются натуральными числами. Теперь рассмотрим два случая:

1. Если b - 8k - 7 > 0, то числитель и знаменатель положительны. Таким образом, a является положительным целым числом.

2. Если b - 8k - 7 < 0, то числитель и знаменатель отрицательны, а значит a является отрицательным целым числом.

В обоих случаях, мы получили, что a не является натуральным числом. Это противоречит нашему исходному предположению, что a и b являются натуральными числами.

Таким образом, мы пришли к выводу, что число n = ab - 7a - 18b + 1 не делится на р.